Question

4．若关于x的方程2x²-mx+1=0的两根正好是某直角三角形两锐角的正弦，则m的值为2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 设方程2x²-mx+1=0的两根分别为x₁、x₂，根据根与系数的关系即可得出x₁+x₂=$\frac{m}{2}$、x₁•x₂=$\frac{1}{2}$，再根据x₁、x₂是某直角三角形两锐角的正弦，即可得出关于m的一元二次方程且m为正值，解之即可得出结论．

解答 解：设方程2x²-mx+1=0的两根分别为x₁、x₂，
则有：x₁+x₂=$\frac{m}{2}$，x₁•x₂=$\frac{1}{2}$．
∵x₁、x₂是某直角三角形两锐角的正弦，
∴x₁＞0，x₂＞0，x₁+x₂=$\frac{m}{2}$＞0，
∴${{x}_{1}}^{2}$+${{x}_{2}}^{2}$=$（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}$-2x₁•x₂=$\frac{{m}^{2}}{4}$-1=1，
解得：m=2$\sqrt{2}$或m=-2$\sqrt{2}$（舍去）．
故答案为：2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了根与系数的关系、解直角三角形以及解一元二次方程，根据方程两根为某直角三角形两锐角的正弦列出关于m的一元二次方程是解题的关键．