Question

3．如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=50?．分别以B、C为圆心，BC长为半径画弧，设两弧交于点D，与AB、AC的延长线分别交于点E、F，连接AD．则
①∠DAE=25度；
②若BC=9，$\widehat{DE}$与$\widehat{DF}$的长度之和为$\frac{11}{2}$π．

Answer 1

分析 ①根据线段垂直平分线的判定和等腰三角形的性质即可得到结论；
②由等腰三角形的性质得出∠ABC=∠ACB=65°，由等边三角形的性质得出∠DBC=∠DCB=60°，再由平角的定义求出∠DBE=∠DCF=55°，然后根据弧长公式求出$\widehat{DE}$，$\widehat{DF}$的长度，即可得出结果．

解答 解：①连接CD，BD，
∵AB=AC，BD=CD，
∴AD垂直平分BC，
∴∠DAE=$\frac{1}{2}$∠BAC=25°；
故答案为：25；

②∵AB=AC，∠BAC=50，
∴∠ABC=∠ACB=65°，
∵BD=CD=BC，
∴△BDC为等边三角形，
∴∠DBC=∠DCB=60°，
∴∠DBE=∠DCF=55°，
∵BC=9，∴BD=CD=9，
∴$\widehat{DE}$的长度=$\widehat{DF}$的长度=$\frac{55π×9}{180}$=$\frac{11}{4}$π；
∴$\widehat{DE}$，$\widehat{DF}$的长度之和为$\frac{11}{2}$π．
故答案为：$\frac{11}{2}$π．

点评 本题考查了弧长的计算，等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，平角的定义；熟练掌握等边三角形的判定与性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．