题目内容

14.我们常见的炒菜锅和锅盖都是抛物线面,经过锅心和盖心的纵断面是两端抛物线组合而成的封闭图形,不妨简称为“锅线”,锅口直径为6dm,锅深3dm,锅盖高1dm(锅口直径与锅盖直径视为相同),建立直角坐标系如图①所示(图②是备用图),如果把锅纵断面的抛物线记为C1,把锅盖纵断面的抛物线记为C2.

(1)求C1和C2的解析式;
(2)如果炒菜锅时的水位高度是1dm,求此时水面的直径;
(3)如果将一个底面直径为3dm,高度为3dm的圆柱形器皿放入炒菜锅内蒸食物,锅盖能否正常盖上?请说明理由.

分析 (1)已知A、B、C、D四点坐标,利用待定系数法即可确定两函数的解析式;
(2)炒菜锅里的水位高度为1dm即y=-2,列方程求得x的值即可得答案;
(3)底面直径为3dm、高度为3dm圆柱形器皿能否放入锅内,需判断当x=$\frac{3}{2}$时,C1和C2中的y值的差与3比较大小,从而可得答案.

解答 解:(1)由于抛物线C1、C2都过点A(-3,0)、B(3,0),可设它们的解析式为:y=a(x-3)(x+3);
抛物线C1还经过D(0,-3),
则有:-3=a(0-3)(0+3),解得:a=$\frac{1}{3}$
即:抛物线C1:y=$\frac{1}{3}$x2-3(-3≤x≤3);
抛物线C2还经过C(0,1),
则有:1=a(0-3)(0+3),解得:a=-$\frac{1}{9}$
即:抛物线C2:y=-$\frac{1}{9}$x2+1(-3≤x≤3).

(2)当炒菜锅里的水位高度为1dm时,y=-2,即$\frac{1}{3}$x2-3=-2,
解得:x=±$\sqrt{3}$,
∴此时水面的直径为2$\sqrt{3}$dm.

(3)锅盖能正常盖上,理由如下:
当x=$\frac{3}{2}$时,抛物线C1:y=$\frac{1}{3}$×($\frac{3}{2}$)2-3=-$\frac{9}{4}$,抛物线C2:y=-$\frac{1}{9}$×($\frac{3}{2}$)2+1=$\frac{3}{4}$,
而$\frac{3}{4}$-(-$\frac{9}{4}$)=3,
∴锅盖能正常盖上.

点评 本题主要考查待定系数求函数解析式与二次函数的实际应用,解题的关键在于将实际问题转化为二次函数问题求解.

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