Question

8．如图，△ABC是边长为1的正三角形，弧AB和弧AC所对的圆心角均为120°，则图中阴影部分的面积为$\frac{\sqrt{3}}{12}$．

Answer 1

分析 设$\widehat{AB}$与$\widehat{AC}$相交于点O，连OA，OB，OC，线段OA将阴影的上方部分分成两个弓形，将这两个弓形分别按顺时针及逆时针方向绕点O旋转120°后，阴影部分便合并成△OBC，得到它的面积等于△ABC面积的三分之一，利用等边三角形的面积公式：$\frac{\sqrt{3}}{4}$×边长²，即可求得阴影部分的面积．

解答 解：如图，设$\widehat{AB}$与$\widehat{AC}$相交于点O，连接OA，OB，OC，线段OA将阴影的上方部分分成两个弓形，将这两个弓形分别按顺时针及反时针绕点O旋转120°后，阴影部分便合并成△OBC，它的面积等于△ABC面积的三分之一，
∴S_阴影部分=$\frac{1}{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{4}$×1²=$\frac{\sqrt{3}}{12}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{3}}{12}$．

点评 本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线段所夹的角等于旋转角．也考查了等边三角形的面积公式：$\frac{\sqrt{3}}{4}$×边长²．