Question

13．已知一次函数y₁=x+b（b为常数）的图象与反比例函数y₂=$\frac{k}{x}$（k为常数，且k≠0）的图象相交于点P（3，1）．
（1）求这两个函数的解析式；
（2）若y₁＞y₂，请直接写出x的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由点P的坐标结合反比例函数图象上点的坐标特征可得出反比例函数系数k，由此即可得出反比例函数解析式；由点P的坐标利用待定系数法即可求出一次函数解析式；
（2）联立两函数解析式，求出两函数交点坐标，画出图形，根据函数图象的上下位置关系即可得出结论．

解答 解：（1）∵点P（3，1）在反比例函数图象上，
∴k=3×1=3，
∴反比例函数解析式为y₂=$\frac{3}{x}$；
将点P（3，1）代入y₁=x+b中，
得：1=3+b，解得：b=-2，
∴一次函数解析式为y₁=x-2．
（2）联立两函数解析式得：$\left\{\begin{array}{l}{y=x-2}\\{y=\frac{3}{x}}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=-3}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=1}\end{array}\right.$，
∴一次函数y₁=x-2与反比例函数y₂=$\frac{3}{x}$的交点坐标为（-1，-3）和（3，1）．
依照题意画出图形，如下所示．

观察函数图形，发现：
当-1＜x＜0或x＞3时，一次函数图象在反比例函数图象上方，
∴当y₁＞y₂时，x的取值范围为-1＜x＜0或x＞3．

点评 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、反比例函数图象上点的坐标特征以及待定系数法求函数解析式，解题的关键：（1）利用待定系数法求出函数解析式；（2）画出函数图象，利用数形结合解决问题．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目是，联立两函数解析式得出方程组，通过解方程组找出交点坐标，画出函数图象，利用数形结合解决问题是关键．