Question

已知△ABC，∠BAC=45°，以AB、AC为边在△ABC外作等腰△ABD和△ACE，AD=AB、AE=AC，且∠BAD=∠CAE，连CD、BE交于F，连AF．
（1）①如图1，若∠BAD=60°，则∠AFE=

 

度；
②如图2，若∠BAD=90°，则∠AFE=

 

 度；
（2）如图3，若∠BAD=a°，猜想∠AFE的度数（用a表示），并予以证明．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等腰三角形的性质

专题：

分析：过点A作AM⊥CD于M，作AN⊥BE于N，求出∠DAC=∠BAE，然后利用“边角边”证明△ABE和△ADC全等，根据全等三角形对应边上的高相等可得AM=AN，全等三角形对应角相等可得∠ABE=∠ADC，再求出∠DAM=∠BAN，然后求出∠MAN=∠BAD，利用“HL”证明Rt△AMF和Rt△ANF全等，根据全等三角形对应角相等可得∠MAF=∠NAF，再根据直角三角形两锐角互余求出∠AFE，然后代入数据计算即可得解．

解答：解：如图，过点A作AM⊥CD于M，作AN⊥BE于N，
∵∠BAD=∠CAE，
∴∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC，
即∠DAC=∠BAE，
在△ABE和△ADC中，

AD=AB ∠DAC=∠BAE AE=AC

，
∴△ABE≌△ADC（SAS），
∴AM=AN，∠ABE=∠ADC，
∴∠DAM=∠BAN，
∴∠MAN=∠BAE+∠BAD-∠DAM-∠EAN，
=∠BAE+∠BAD-∠BAN-∠EAN，
=∠BAE+∠BAD-∠BAE，
=∠BAD，
在Rt△AMF和Rt△ANF中，

AF=AF AM=AN

，
∴Rt△AMF≌Rt△ANF（HL），
∴∠MAF=∠NAF=

1

2

∠BAD，
在Rt△AEN中，∠AFE=90°-∠NAF=90°-

1

2

∠BAD，
（1）①若∠BAD=60°，则∠AFE=90°-

1

2

×60°=60°；
②若∠BAD=90°，则∠AFE=90°-

1

2

×90°=45°；
（2）若∠BAD=a°，则∠AFE=90°-

1

2

α°．
故答案为：60，45．

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟记三角形全等的判定方法是解题的关键，难点在于作出全等三角形的对应边上的高线并求出∠MAN=∠BAD．