Question

6．如图，在平面直角坐标系中，直线y=-x-1与x轴交于A点，与y轴交于B点，抛物线y=ax²-6ax+c经过A、B两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）C是抛物线对称轴上一点，连接AC，将线段AC绕点C逆时针旋转90°，当点A的对应点D恰好落在第四象限的抛物线上时，求点D的坐标；
（3）在（2）的条件下，设直线AB与抛物线对称轴交于点G，连接DG，P是抛物线对称轴上一点，过点P作x轴的平行线交BG于点M，交DG于点N，连接CM、CN，设点P的纵坐标为t，当∠MCN=$\frac{1}{2}$∠AGD时，求t的值．

Answer 1

分析 （1）根据自变量与函数值的对应关系，可得A、B点坐标，再把A、B两点坐标代入y=ax²-6ax+c，利用待定系数法，可得抛物线的解析式；
（2）设抛物线对称轴交x轴于点F，作DE⊥CF于点E．利用AAS证明△ACF≌△CDE，根据全等三角形的性质，可得AF=CE，CF=DE，设C（3，m），则AF=CE=4，CF=DE=m，D（m+3，m-4），将D（m+3，m-4）代入抛物线的解析式，可得关于m的方程，解方程，可得答案；
（3）先求出∠AGF=∠DGE=45°，则∠AGD=90°，∠MCN=$\frac{1}{2}$∠AGD=45°．在BA延长线上取一点H，使AH=DN，证明△ACH≌△DCN，得出CH=CN，∠HCA=∠NCD，再证明△MCH≌△MCN，得出∠HMC=∠NMC．作CK⊥HM于K，求出CG=7，解Rt△CKG，得出CK=CG•sin∠CGK=$\frac{7}{2}$$\sqrt{2}$，则CP=$\frac{7}{2}$$\sqrt{2}$，t=3-$\frac{7}{2}$$\sqrt{2}$．

解答 解：（1）直线y=-x-1与坐标轴交点坐标A（-1，0），B（0，-1）．
∵抛物线y=ax²-6ax+c经过A、B两点，
∴$\left\{\begin{array}{l}{（-1）^{2}a-6a×（-1）+c=0}\\{c=-1}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{7}}\\{c=-1}\end{array}\right.$，
∴y=$\frac{1}{7}$x²-$\frac{6}{7}$x-1；

（2）如图，设抛物线对称轴交x轴于点F，作DE⊥CF于点E，
∵y=$\frac{1}{7}$x²-$\frac{6}{7}$x-1的对称轴x=3，
∴F（3，0）．
∵CF⊥x轴，DE⊥CE，
∴∠AFC=∠AFE=∠CED=90°．
∵∠CAF+∠ACF=∠DCE+∠ACF=90°，
∴∠CAF=∠DCE．
在△ACF和△CDE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CAF=∠DCE}\\{∠AFC=∠CED=90°}\\{AC=CD}\end{array}\right.$，
∴△ACF≌△CDE（AAS），
∴AF=CE，CF=DE．
设C（3，m），则AF=CE=4，CF=DE=m，D（m+3，m-4），
将D（m+3，m-4）代入抛物线的解析式，
得m-4=$\frac{1}{7}$（m+3）²-$\frac{6}{7}$（m+3）-1，
解得m₁=3，m₂=4（舍），
∴D（6，-1）；

（3）由（1）知A（-1，0），由（2）知F（3，0），
则OA=1，OF=3．
∴AF=4．
由（2）知DE=3，C（3，3），
当x=3时，y=-3-1=-4，
∴G（3，-4），
∴AF=FG=4，
∵D（6，-1），
∴EF=1，
∴EG=3．
∴DE=GE=3，
∵∠AFG=∠DEG=90°，
∴∠FAG=∠FGA=45°，∠EDG=∠EGD=45°，
∴∠AGF=∠DGE=45°，
∴∠AGD=90°．
∵∠MCN=$\frac{1}{2}$∠AGD，
∴∠MCN=45°．
在四边形CAGD中，∵∠CAG+∠AGD+∠CDG+∠ACD=360°，
∴∠CAG+∠CDG=180°．
如图，在BA延长线上取一点H，使AH=DN，
∵∠CAG+∠CAH=180°，
∴∠CAH=∠CDG．
∵AC=CD，
∴△ACH≌△DCN，
∴CH=CN，∠HCA=∠NCD．
∵∠ACN+∠NCD=90°，
∴∠ACN+∠HCA=90°，
∴∠HCM=∠NCM=45°．
在△MCH与△MCN中，
$\left\{\begin{array}{l}{CH=CN}\\{∠HCM=∠NCM}\\{CM=CM}\end{array}\right.$，
∴△MCH≌△MCN，
∴∠HMC=∠NMC．
∵MN∥x轴，
∴CP⊥MN，
作CK⊥HM于K，
∴CK=CP，由C（3，3），G（3，-4），
∴CG=7．
在Rt△CKG中，CK=CG•sin∠CGK=$\frac{7}{2}$$\sqrt{2}$，
∴CP=$\frac{7}{2}$$\sqrt{2}$，
∴t=3-$\frac{7}{2}$$\sqrt{2}$．

点评 本题是二次函数综合题，其中涉及到待定系数法求二次函数解析式、旋转的性质、全等三角形的判定与性质、函数图象上点的坐标特征等知识．本题综合性较强，难度较大，准确作出辅助线利用数形结合是解题的关键．