Question

19．在△ABC，∠BAC=90°，AB=AC，AD=DC，AE⊥BD，求证：∠1=∠2．

Answer 1

分析 过C作CH⊥AC交AE的延长线于H，根据余角的性质得到∠1=∠H，推出△ABD≌△ACH，根据全等三角形的性质得到AD=CH，等量代换得到CD=CH，根据等腰直角三角形的性质得到∠ACB=45°，推出△CDE≌△CHE，根据全等三角形的性质得到∠2=∠H，等量代换得到结论．

解答 证明：过C作CH⊥AC交AE的延长线于H，
∴∠HAC+∠H=90°，
∵AE⊥BD，
∴∠CAH+∠1=90°，
∴∠1=∠H，
在△ABD与△ACH中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAD=∠ACH=90°}\\{∠1=∠H}\\{AB=AC}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△ACH，
∴AD=CH，
∵AD=CD，
∴CD=CH，
∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠ACB=45°，
∴∠HCE=45°，
在△CDE与△CHE中，
$\left\{\begin{array}{l}{CD=CH}\\{∠ACB=∠HCE}\\{CE=CE}\end{array}\right.$，
∴△CDE≌△CHE，
∴∠2=∠H，
∴∠1=∠2．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．