Question

8．如图，已知直线AB与x轴、y轴分别交于点A和点B，OA=4，且OA，OB长是关于x的方程x²-mx+12=0的两实根，以OB为直径的⊙M与AB交于C，连接CM，交x轴于点N，点D为OA的中点．
（1）求证：CD是⊙M的切线；
（2）求线段ON的长．

Answer 1

分析 （1）先根据根与系数的关系求出OB的长，故可得出圆的半径．连结OC，OB是⊙M的直径，则∠ACO=90°，由D为OA的中点得出OD=AD=CD，故可得出∠OAC=∠ACD，再由∠OAC+∠OBA=90°得出∠BCM+∠ACD=90°，故∠NCD=90°，由此得出结论；
（2）根据∠CND=∠CND，∠NOM=∠NCD=90°，得出△NOM∽△NCD，再由相似三角形的对应边成比例即可得出结论．

解答 解：（1）OA、OB长是关于x的方程x²-mx+12=0的两实根，OA=4，则OA×OB=12，
得OB=3，⊙M的半径为1.5；
∵BM=CM=1.5，
∴∠OBA=∠BCM．
连结OC，OB是⊙M的直径，则∠ACO=90°，D为OA的中点，
∴OD=AD=CD=2，
∴∠OAC=∠ACD，
又∵∠OAC+∠OBA=90°，
∴∠BCM+∠ACD=90°，
∴∠NCD=90°，
∴CD是⊙M的切线．

（2）∵∠CND=∠CND，∠NOM=∠NCD=90°，
∴△NOM∽△NCD，
∴$\frac{ON}{NC}$=$\frac{OM}{CD}$，即$\frac{ON}{\sqrt{（ON+2）^{2}-{2}^{2}}}$=$\frac{1.5}{2}$，
∴NO=$\frac{36}{7}$．

点评 本题考查的是圆的综合题，涉及到圆周角定理及相似三角形的判定与性质、一元二次方程的根与系数的关系，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．