如图.在平面直角坐标系中.直线y=$\frac{4}{3}$x+4分别交x轴.y轴于A.B两点.点C为OB的中点.点D在第二象限.且四边形AOCD为矩形．(1)直接写出点A.B的坐标.并求直线AB与CD交点E的坐标,(2)动点P从点C出发.沿线段CD以每秒1个单位长度的速度向终点D运动,同时.动点N从点A出发.沿线段AO以每秒1个单位长度的速度向终点O运动.过点P作PH⊥OA.� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

8．如图，在平面直角坐标系中，直线y=$\frac{4}{3}$x+4分别交x轴，y轴于A，B两点，点C为OB的中点，点D在第二象限，且四边形AOCD为矩形．
（1）直接写出点A，B的坐标，并求直线AB与CD交点E的坐标；
（2）动点P从点C出发，沿线段CD以每秒1个单位长度的速度向终点D运动；同时，动点N从点A出发，沿线段AO以每秒1个单位长度的速度向终点O运动，过点P作PH⊥OA，垂足为H，连接NP．设点P的运动时间为t秒．
①若△NPH的面积为1，求t的值；
②点Q是点B关于点A的对称点，问BP+PH+HQ是否有最小值，如果有，求出相应的点P的坐标；如果没有，请说明理由．

分析（1）分别令x与y等于0，即可求出点A与点B的坐标，由四边形AOCD为矩形，可知：CD∥x轴，进而可知：D、C、E三点的纵坐标相同，由点C为OB的中点，可求点C的坐标，然后将点C的纵坐标代入直线y=$\frac{4}{3}$x+4即可求直线AB与CD交点E的坐标；
（2）①分两种情况讨论，第一种情况：当0＜t＜2时；第二种情况：当2＜t≤6时；
②由点Q是点B关于点A的对称点，先求出点Q的坐标，然后连接PB，CH，可得四边形PHCB是平行四边形，进而可得：PB=CH，进而可将BP+PH+HQ转化为CH+HQ+2，然后根据两点之间线段最短可知：当点C，H，Q在同一直线上时，CH+HQ的值最小，然后求出直线CQ的关系式，进而可求出直线CQ与x轴的交点H的坐标，从而即可求出点P的坐标

解答解：（1）∵直线y=$\frac{4}{3}$x+4分别交x轴，y轴于A，B两点，
∴令x=0得：y=4，
令y=0得：x=-3，
∴A（-3，0），B（0，4），
∴OA=3，OB=4，
∵点C为OB的中点，
∴OC=2，
∴C（0，2），
∵四边形AOCD为矩形，
∴OA=CD=3，OC=AD=2，CD∥OA（x轴），
∴D、C、E三点的纵坐标相同，
∴点E的纵坐标为2，将y=2代入直线y=$\frac{4}{3}$x+4得：x=-1.5，
∴E（-1.5，2）；
（2）①分两种情况讨论：
第一种情况当0≤t＜1.5时，如图1，

根据题意可知：经过t秒，CP=t，AN=t，HO=CP=t，PH=OC=2，
∴NH=3-2t，
∵S_△NPH=$\frac{1}{2}$PH•NH，且△NPH的面积为1，
∴$\frac{1}{2}$×2×（3-2t）=1，
解得：t=1；
第二种情况：当1.5≤t≤3时，如图2，
根据题意可知：经过t秒，CP=t，AN=t，HO=CP=t，PH=OC=2，
∴AH=3-t，
∴HN=AN-AH=t-（3-t）=2t-3，
∵S_△NPH=$\frac{1}{2}$PH•NH，且△NPH的面积为1，
∴$\frac{1}{2}$×2×（2t-3）=1，
解得：t=2；
∴当t=1或2时，存在△NPH的面积为1；
②BP+PH+HQ有最小值，
连接PB，CH，HQ，则四边形PHCB是平行四边形，如图3，

∵四边形PHCB是平行四边形，
∴PB=CH，
∴BP+PH+HQ=CH+HQ+2，
∵BP+PH+HQ有最小值，即CH+HQ+2有最小值，
∴只需CH+HQ最小即可，
∵两点之间线段最短，
∴当点C，H，Q在同一直线上时，CH+HQ的值最小，
过点Q作QM⊥y轴，垂足为M，
∵点Q是点B关于点A的对称点，
∴OA是△BQM的中位线，
∴QM=2OA=6，OM=OB=4，
∴Q（-6，-4），
设直线CQ的关系式为：y=kx+b，
将C（0，2）和Q（-6，-4）分别代入上式得：
$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{-6k+b=-4}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{k=1}\end{array}\right.$，
∴直线CQ的关系式为：y=x+2，
令y=0得：x=-2，
∴H（-2，0），
∵PH∥y轴，
∴P（-2，2）．