Question

3．如图，两相交圆的公共弦AB，在⊙O₁中为内接正三角形的一边，在⊙O₂中为内接正六边形的一边，求这两圆的面积之比．

Answer 1

分析 根据内接多边形的性质分别求得两圆的半径，然后根据圆的面积公式求这两圆的面积之比．

解答 解：如图，连O₁O₂交AB于D，交⊙O于C，则O₁O₂垂直平分AB．
∵AB为⊙O₂内接正六边形的一边，
∴△O₂AB为等边三角形，
设O₂A=AB=k．
又∵AB分别为⊙O的内接正三角形，
∴AD=$\frac{1}{2}$k，∠AO₁B=2∠ACB=120°，
∴∠AO₁D=60°，
∴O₁A=$\frac{AD}{sin60°}$=$\frac{\frac{1}{2}k}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=$\frac{\sqrt{3}k}{3}$，
∴这两圆的面积之比为：πO₁A²：πO₂A²=O₁A²：O₂A²=$\frac{\sqrt{3}k}{3}$：$\frac{1}{2}$k=2$\sqrt{3}$：3．

点评 本题考查了相交两圆的性质、等边三角形的性质以及解直角三角形．此题实际上求两圆的半径之比．