题目内容

如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCO是梯形，其中A（6，0），B（3，
3
），C（1，
3
），动点P从点O以每秒2个单位的速度向点A运动，动点Q也同时从点B沿B→C→O的线路运动，运动速度为每秒1个单位，当点P到达A点时，点Q也随之停止，设点P、Q运动的时间为t（秒）．
（1）经过A、B、C三点的抛物线的解析式的对称轴为
 
．
（2）设经过A、B、C三点的抛物线的对称轴与直线OB的交点为M，线段PQ是否能经过点M？若能请求出t的值（或t的取值范围），若不能，请说明理由．
（3）当Q在BC上运动时，以线段PQ为直径的圆能否与直线AB相切？若能请求出t的值，若不能，请说明理由．
考点：二次函数综合题
专题：
分析：（1）根据抛物线经过的B、C点的坐标求得对称轴即可；
（2）如图1，根据△BGM∽△OHM，G（2，
3
），H（2，0）和BG=1，OH=2，得到
BG
OH
=
BM
OM
=
1
2
，然后根据△BQN∽△OPN，QB=t，OP=2t得到
BQ
OP
=
BN
ON
=
1
2
，从而得到
BM
OM
=
BN
ON
，即点N与点M重合；
（3）如图2，过圆心N作NE∥x轴，根据⊙N切AB于D，AB与x轴夹角为30°，得到△END为30°角的直角三角形，设P（2t，0），Q（3-t，
3
），
利用勾股定理得到PQ2=[3（1-t）]2+（
3
）2，然后得到NE2=PQ2从而得到[
1
2
（6-t）]2=[3（1-t）]2+（
3
）2，解方程即可求得t值．
解答：解：（1）∵抛物线过点B（3，
3
），C（1，
3
），
∴对称轴为直线x=
3+1
2
=2； 
（2）∵如图1，△BGM∽△OHM，G（2，
3
），H（2，0），
∴BG=1，OH=2，
∴
BG
OH
=
BM
OM
=
1
2
，
设PQ交OB于点N，
又∵△BQN∽△OPN，QB=t，OP=2t，
∴
BQ
OP
=
BN
ON
=
1
2
，
∴
BM
OM
=
BN
ON
，即点N与点M重合．此时0＜t＜2；

（3）如图2，过圆心N作NE∥x轴，
∵⊙N切AB于D，AB与x轴夹角为30°，
∴△END为30°角的直角三角形，
∴NE=2ND，
∵PQ=2ND，
∴NE=PQ，
设P（2t，0），Q（3-t，
3
），
∴PQ2=[3（1-t）]2+（
3
）2，
∵NE为梯形ABQP的中位线，
∴NE=
1
2
（BQ+AP）=
1
2
（6-t），
∵NE=PQ，
∴NE2=PQ2
∴[
1
2
（6-t）]2=[3（1-t）]2+（
3
）2，
解得：t=
30±4
30
35
．
点评：本题考查了二次函数的综合知识，题目中涉及了含30°角的直角三角形，勾股定理，梯形的性质，坐标与图形的性质的应用，主要考查学生的推理和计算能力，题目综合性比较强，有一定的难度．
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a-2015
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．
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k
x
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； 当x满足
 
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；当x＞-4时，y2的取值范围为
 
．
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x
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；
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°．

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