Question

3．已知x，y均为实数，当代数式u=x²+2y²-2xy+2x-6y+1取最小值时，x+y=3．

Answer 1

分析 解：设m=x+y，则y=m-x，u=x²+2y²-2xy+2x-6y+1=5x²+（8-6m）x-m²-6m+1，由二次函数知该式有最小值：m²-18m-11，再由m²-18m-11，当m=9时有最小值．

解答 解：设m=x+y，则y=m-x，
∴u=x²+2y²-2xy+2x-6y+1=5x²+（8-6m）x+2m²-6m+1，
上面式子看作x的二次函数，
由二次函数知该式有最小值：u_最小=$\frac{1}{5}$m²-$\frac{6}{5}$m-$\frac{11}{5}$，
上式关于m的二次函数，当m=3时u取最小值，
∴x+y=3，
故答案为：3．

点评 此题考查了二次函数的最值问题，函数与方程思想，熟练掌握二次函数最值是解本题的关键．