Question

8．如图，在四边形ABCD中，AB=BC，∠ADC=60°，∠ABC=120°，连接BD，作AF⊥BD、AE⊥DC，垂足为F、E，BD、AE交于点O，下面的结论中，正确的有①②④．
①BD平分∠ADC，②△ADE≌△DAF，③AO=BO，④S_四ABCD=$\frac{1}{4}$（AD+DC）•BD．

Answer 1

分析 如图，作BN⊥DC于N，BM⊥AD于M，作CH⊥BD于H．
①正确．只要证明BM=BN即可；
②正确．只要证明∠DAE=∠ADF=30°，根据AAS即可证明；
③错误．用反证法证明即可；
④正确．根据S_{四边形ABCD}=S_△ABD+S_△BDC=$\frac{1}{2}$•BD•AF+$\frac{1}{2}$•BD•CH，又AF=$\frac{1}{2}$AD，CH=$\frac{1}{2}$DC，由此即可证明；

解答 解：如图，作BN⊥DC于N，BM⊥AD于M，作CH⊥BD于H．

∵∠BMD=∠BND=90°，∠MDN=60°，
∴∠MBN=∠ABC=120°，
∴∠ABM=∠CBN，
∵AB=BC，
∴△BMA≌△BNC，
∴BM=BN，
∴∠ADB=∠BDN，
∴BD平分∠ADC，故①正确，
∵AE⊥DC，AF⊥DB，
∴∠AED=∠AFD=90°，
∴∠DAE=30°
∵∠ADF=∠BDC=30°，
∴∠ADF=∠DAE=30°，∵AD=DA，
∴△ADF≌△DAE，故②正确，
∵∠OAD=∠ODA=30°，
∴OA=OD，不妨设OA=OB，
则OA=OD=OB，
∴△DAB是直角三角形，这显然不可能，
∴OA与OB不一定相等，故③错误，
∵S_{四边形ABCD}=S_△ABD+S_△BDC=$\frac{1}{2}$•BD•AF+$\frac{1}{2}$•BD•CH，
∵AF=$\frac{1}{2}$AD，CH=$\frac{1}{2}$DC，
∴S_四ABCD=$\frac{1}{4}$（AD+DC）•BD．故④正确．

点评 本题考查全等三角形的判定和性质、角平分线的判定定理、反证法等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．