Question

4．等腰直角△ABO在直角坐标系的位置如图所示，O为原点，点B为y轴正半轴上任意一点，点A在x轴负半轴上，P为直线x=1上任一点，将△ABO绕点P顺时针旋转90°，得到△A′B′O′．
（1）求旋转后点B′与点P的纵坐标之差为1；
（2）若旋转后的△A′B′O′有两点同时落在抛物线y=x²上，则此时点P的坐标为（1，3）．

Answer 1

分析 （1）设OA=a（a＞0），由△ABO为等腰直角三角形即可得出点A、B、O的坐标，设点P的坐标为（1，b），根据旋转的性质即可得出点A′、B′、O′的坐标，结合点P的坐标即可得出结论；
（2）由点A′、B′、O′的坐标，即可得知分点O′、B′同时在抛物线y=x²上和点A′与B′同时在抛物线y=x²上两种情况考虑，根据二次函数图象上点的坐标特征即可得出关于a、b的二元二次方程组，解之即可得出结论，再根据a＞0即可找出b值，从而得出点P的坐标．

解答 解：（1）设OA=a（a＞0），则A（-a，0），B（0，a），O（0，0），设点P的坐标为（1，b）．
∵将△ABO绕点P顺时针旋转90°，得到△A′B′O′，
∴A′（1-b，b+a+1），O′（1-b，b+1），B′（1-b+a，b+1），
∴点B′与点P的纵坐标之差为b+1-b=1．
故答案为：1．
（2）∵A′（1-b，b+a+1），O′（1-b，b+1），B′（1-b+a，b+1），点A′、O′横坐标相同，
∴三点中不可能同时为A′、O′．
①当点O′、B′同时在抛物线y=x²上时，$\left\{\begin{array}{l}{b+1=（1-b）^{2}}\\{b+1=（1-b+a）^{2}}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=0}\\{b=0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a=-2}\\{b=0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a=0}\\{b=3}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a=4}\\{b=3}\end{array}\right.$，
∵a＞0，
∴b=3，即点P的坐标为（1，3）；
②当点A′与B′同时在抛物线y=x²上时，$\left\{\begin{array}{l}{b+a+1=（1-b）^{2}}\\{b+1=（1-b+a）^{2}}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=0}\\{b=0}\end{array}\right.$，
∵a＞0，
∴此种情况不存在．
综上所述：点P的坐标为（1，3）．
故答案为：（1，3）．

点评 本题考查了二次函数图象与几何变换、等腰直角三角形、二次函数图象上点的坐标特征以及解二元二次方程组，解题的关键是：（1）根据旋转的性质找出点A′、B′、O′的坐标；（2）根据二次函数图象上点的坐标特征列出关于a、b的二元二次方程组．