Question

如图，已知一底面半径为r，母线长为4r的圆锥，在地面圆周上有一蚂蚁位于A点，它从A点出发沿圆锥面爬行一周后又回到原出发点，请你给它指出一条爬行最短的路径，并求出最短路径的长．

Answer 1

考点：平面展开-最短路径问题,圆锥的计算

专题：

分析：根据两点之间线段最短可求，利用底面周长=展开图的弧长可求出圆心角的度数，再根据勾股定理求出弦的长度．

解答：解：把圆锥沿过点A的母线展成如图所示扇形，
则蚂蚁运动的最短路程为AA′（线段）．
由此知：OA=OA′=4r，

ADA′

的长即为圆锥的底面周长为2πr．
∴2πr=

nπ×4r

180

，
解得：n=90°，
即∠AOA′=90°，∠OAC=45°．
∵OA=OA′，
∴OC⊥AA′，
∴AA′=

(4r)2+(4r)2

=4

2

r．
即蚂蚁运动的最短路程是4

2

r．

点评：此题主要考查了平面展开图的最短路径问题，此题的关键是找到这一条最短的路径，并熟悉圆锥的展开图，根据已知的条件求弦长．