Question

15．（1）如图1，CM平分∠ACD，AM平分∠BAC，∠MAC+∠ACM=90°，请判断AB与CD的位置关系并说明理由；
（2）如图2，当∠M=90°且AB与CD的位置关系保持（1）中的不变，当直角顶点M移动时，问∠BAM与∠MCD是否存在确定的数量关系？并说明理由；
（3）如图3，G为线段AC上一定点，点H为直线CD上一动点且AB与CD的位置关系保持（1）中的不变，当点H在射线CD上运动时（点C除外）∠CGH+∠CHG与∠BAC有何数量关系？猜想结论并说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据角平分线的性质和三角形内角和定理即可得出答案；
（2）过M作MF∥AB，根据平行线的性质得出∠BAM=∠AMF，∠FMC=∠DCM，再根据∠M=90°，即可得出∠BAM+∠MCD=90°；
（3）过点G作GP∥AB，根据平行线的性质得出∠BAC=∠PGC，∠CHG=∠PGH，从而得出∠BAC=∠CHG+∠CGH．

解答 解：（1）∵CM平分∠ACD，AM平分∠BAC，
∴∠BAC=2∠MAC，∠ACD=2∠ACM，
∵∠MAC+∠ACM=90°，
∴∠BAC+∠ACD=180°，
∴AB∥CD；

（2）∠BAM+∠MCD=90°；
理由：如图2，过M作MF∥AB，
∵AB∥CD，
∴MF∥AB∥CD，
∴∠BAM=∠AMF，∠FMC=∠DCM，
∵∠M=90°，
∴∠BAM+∠MCD=90°；

（3）过点G作GP∥AB，
∵AB∥CD
∴GP∥CD，
∴∠BAC=∠PGC，∠CHG=∠PGH，
∴∠PGC=∠CHG+∠CGH，
∴∠BAC=∠CHG+∠CGH．

点评 此题考查了平行线的判定与性质，用到的知识点是三角形内角和定理以及平行线的判定与性质，关键是根据题意做出辅助线．