Question

18．关于x的一元二次方程（c+a）x²+2bx+（c-a）=0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长．
（1）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）已知a：b：c=3：4：5，求该一元二次方程的根．

Answer 1

分析 （1）根据方程有两个相等的实数根结合根的判别式可得出△=4b²-4（c+a）（c-a）=0，整理即可得出c²=a²+b²，由此得出△ABC为直角三角形；
（2）根据a：b：c=3：4：5，设a=3t、b=4t、c=5t，将其代入方程整理得4x²+4x+1=0，解方程求出x值，此题得解．

解答 解：（1）直角三角形，理由如下：
∵方程（c+a）x²+2bx+（c-a）=0有两个相等的实数根，
∴△=4b²-4（c+a）（c-a）=0，即c²=a²+b²，
∵a、b、c分别为△ABC三边的长，
∴△ABC为直角三角形．
（2）∵a：b：c=3：4：5，
∴设a=3t，b=4t，c=5t，
∴原方程可变为：4x²+4x+1=0，
解得：x=-$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了根的判别式以及解一元二次方程，根据方程解的情况结合根的判别式找出a、b、c间的关系是解题的关键．