Question

8．如图1，在△ABC中，点D是BC的中点，延长AD到点G，使DG=AD，连接CG，可以得到△ABD≌△GCD，这种作辅助线的方法我们通常叫做“倍长中线法”．
如图2，在△ABC中，点D是BC的中点，点E是AB上一点，连接ED，小明由图1中作辅助线的方法想到：延长ED到点G，使DG=ED，连接CG．
（1）请直接写出线段BE和CG的关系：BE=CG；
（2）如图3，若∠A=90°，过点D作DF⊥DE交AC于点F，连接EF，已知BE=3，CF=2$\sqrt{5}$，其它条件不变，求EF的长．

Answer 1

分析 （1）由BD=CD、∠BDE=∠CDG、DE=DG证△EBD≌△GCD可得；
（2）由△EBD≌△GCD可得∠B=∠GCD、BE=CG=3，根据∠A=90°知∠GCF=90°，利用勾股定理求得FG的长，最后由中垂线性质即可得EF=FG．

解答 解：（1）∵点D是BC的中点，
∴BD=CD，
在△EBD和△GCD中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{BD=CD}\\{∠BDE=∠CDG}\\{DE=DG}\end{array}\right.$，
∴△EBD≌△GCD（SAS），
∴BE=CG，
故答案为：BE=CG；

（2）如图，连接GF，

由（1）知△EBD≌△GCD，
∴∠B=∠GCD，BE=CG=3，
又∵∠A=90°，
∴∠B+∠BCA=90°，
∴∠GCD+∠BCA=90°，即∠GCF=90°，
∵CG=3，CF=2$\sqrt{5}$，
∴FG=$\sqrt{C{G}^{2}+C{F}^{2}}$=$\sqrt{29}$，
∵DF⊥DE，且DE=DG，
∴EF=FG=$\sqrt{29}$．

点评 本题主要考查全等三角形的判定与性质、中垂线性质，通过证明三角形全等得出对应边相等、对应角相等是解题基础，将待求线段转化成求等长线段是解题的关键．