题目内容

翻转类的计算问题在全国各地的中考试卷中出现的频率很大，因此小菲同学结合某市数学中考卷的倒数第二题对这类问题进行了专门的研究．你能和小菲一起解决下列各问题吗？（以下各问只要求写出必要的计算过程和简洁的文字说明即可．）
（1）如图①，小菲同学把一个边长为1的正三角形纸片（即△OAB）放在直线l1上，OA边与直线l1重合，然后将三角形纸片向右翻转一周回到初始位置，求顶点O所经过的路程；
（2）小菲进行类比研究：如图②，她把边长为1的正方形纸片OABC放在直线l2上，OA边与直线l2重合，然后将正方形纸片向右翻转若干次．她提出了如下问题：
问题①：若正方形纸片OABC接上述方法翻转一周回到初始位置，求顶点O经过的路程；
问题②：正方形纸片OABC按上述方法经过
 
次旋转，顶点O经过的路程是
41+20
2
2
π．
（3）①小菲又进行了进一步的拓展研究，若把这个正三角形的一边OA与这个正方形的一边OA重合（如图3），然后让这个正三角形在正方形上翻转，直到正三角形第一次回到初始位置（即O点，A点，B点的相对位置和初始时一样），求顶点O所经过的总路程．
②若把边长为1的正方形OABC放在边长为1的正五边形OABCD上翻转（如图④），直到正方形第一次回到初始位置（即O点，A点，B点，C点的相对位置和初始时一样），求顶点O所经过的总路程．
考点：圆的综合题
专题：
分析：（1）根据正三角形的性质及弧长公式求出点A绕点B、点C旋转的两段弧长相加即可；
（2）①根据正方形旋转一周的路径；利用弧长公式以及扇形面积公式求出即可；
②利用正方形纸片OABC经过4次旋转得出旋转路径，进而得
41+20
2
2
π=
20(2+
2
)
2
+
π
2
，即可得出旋转次数；
（3）①首先求出每翻三次翻一周，顶点O所经过的总路程长，进而得出三角形共翻四周回到初始位置，所以顶点O所经过的总路程长；
②首先求出正方形每翻四次翻一周，顶点O所经过的总路线长，再利用共翻5周回到初始位置，即可得出顶点O所经过的总路程长；
解答：解：（1）顶点O所经过的总路程为：
120
180
π×1×2=
4
3
π，
（2）①顶点O经过的总路程为：
90
180
π×1×2+
90
180
π×
2
=π+
2
2
π=
2+
2
2
π，
②由①：每翻转一周顶点O经过的总路
2+
2
2
π，
由
41+20
2
2
π=
20(2+
2
)
2
+
π
2
．即翻转20周后再翻一次，共翻81次．                      
（3）①每翻三次翻一周，顶点O所经过的总路程为：
120
180
π×1×2=
4
3
π，
共翻四周回到初始位置，所以顶点O所经过的总路程为：
7
3
π×4=
28
3
π，
②②每翻四次翻一周，顶点O所经过的总路程为：
162
180
π×1×2+
162
180
π×
2
=
81
45
π+
9
2
10
π，
共翻5周回到初始位置，所以顶点O所经过的总路程为：
5×（
81
45
π+
9
2
10
π）=
18+9
2
2
π．
点评：本题主要考查了旋转的性质以及等边三角形的性质和正方形的性质以及弧长公式等知识，熟练利用正多边形的性质以及弧长公式是解题关键．
练习册系列答案
相关题目
已知
x-1
+
1-x
=y+4，求xy的值．
如图，梯形ABCD，AB与CD平行，∠BCD=2∠D=2α，∠CEF=∠B，
（1）用α表示∠CEF=
 
；
（2）当AB=BC时，猜想EC、EF的数量关系，并证明．
解方程组：
y=2x-6
y=-x+3
．
因式分解：（a-2b）2-（2a+b）2．
下列判断正确的有（　　）
①描述一组数据的平均数、方差只有一个；
②描述一组数据的中位数、极差只有一个；
③描述一组数据的众数只有一个；
④描述一组数据的平均数、中位数、众数都一定是这组数据中的数；
⑤一组数据中的一个数的大小发生了变化，一定会影响这组数据的平均数，众数和中位数．
A、1个B、2个C、3个D、4个
已知x＞0，且（x+2）|x|-2=1，则x=
 
．
已知等腰△ABC的一边长a=3，另两边长b、c恰好是关于x的方程x2-（k+2）x+2k=0的两个根，求△ABC的周长．
如图是一数值转换机，若输入的x为-5，则输出的结果为
 
．

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