Question

已知：关于x的一元二次方程kx²-（4k+1）x+3k+1=0（k＞0）．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）若方程的两个实数根分别为x₁，x₂（其中x₁＜x₂），设y=x₂-x₁-2，试探究y与k之间的函数关系．

Answer 1

考点：根的判别式,根与系数的关系

专题：

分析：（1）根据一元二次方程的定义得k≠0，再计算判别式得到△=（2k-1）²，然后根据非负数的性质即k的取值得到△＞0，则可根据判别式的意义得到结论；
（2）利用根与系数的关系和代数式变形求得x₂-x₁=

(x2+x1)2-4x2x1

=

2k+1

k

=2+

1

k

，所以将其代入y=x₂-x₁-2，即可得到y与k之间的函数关系．

解答：（1）证明：k≠0，
△=（4k+1）²-4k（3k+1）
=4k²+4k+1
=（2k+1）²，
∵k＞0，
∴（2k+1）²＞0，
∴△＞0，
∴方程有两个不相等的实数根；

（2）解：∵关于x的一元二次方程kx²-（4k+1）x+3k+1=0（k＞0）的两个实数根分别为x₁，x₂（其中x₁＜x₂），则x₂-x₁＞0．
∴x₂+x₁=

4k+1

k

，x₂•x₁=

3k+1

4

，
∴y=x₂-x₁-2=

(x2+x1)2-4x2x1

-2=

(4k+1)2 k2 -4× 3k+1 k

-2=

2k+1

k

-2=

1

k

，即y与k之间的函数关系是y=

1

k

．

点评：本题考查了根的判别式，根与系数的关系．解答（2）时，将根与系数的关系和代数式变形相结合是解题中经常用到的方法．