Question

12．如图，已知矩形ABCD，把矩形ABCD沿直线BD翻折，点C落在点E处，连接AE．
（1）若AB=$\sqrt{3}$，BC=$\sqrt{6}$，试求四边形ABDE的面积；
（2）记AD与BE的交点为P，若AB=a，BC=b，试求PD的长（用a，b表示）

Answer 1

分析 （1）根据矩形的性质得AD=BC=$\sqrt{6}$，AB=DC=$\sqrt{3}$，AD∥BC，根据勾股定理可计算出BD=3，再根据折叠的性质得∠DBC=∠DBE，BE=BC=$\sqrt{6}$，ED=DC=$\sqrt{3}$，则∠DBE=∠ADB，所以BF=DF，又AD=BE，则AF=EF，所以∠DAE=∠AEB，于是∠DAE=∠AEB=∠DBE=∠ADB，得到BD∥AE，而AB=DE=$\sqrt{3}$，且AB与DE不平行，所以可判断四边形ABDE是等腰梯形，过点A、E分别作AM⊥BD于点M、EN⊥BD于点N，则四边形AMNE为矩形，根据等腰图形的性质易得BM=DN，AE=MN，在Rt△ABD中，利用面积法克计算出AM=$\frac{\sqrt{6}×\sqrt{3}}{3}$=$\sqrt{2}$，在Rt△ABM中，利用勾股定理计算出BM=1，则AE=MN=3-1=2，然后根据梯形的面积公式求解；
（2）利用（1）中的结论，作PM⊥BD于点M，得出PM=$\frac{1}{2}$BD，进一步证得△DPM∽△BDC，利用性质求得结论即可．

解答 解：（1）如图，

设BE与AD交于点F．
∵四边形ABCD为矩形，AB=$\sqrt{3}$，BC=$\sqrt{6}$，
∴AD=BC=$\sqrt{6}$，AB=DC=$\sqrt{3}$，AD∥BC，
∴BD=3，∠DBE=∠ADB，
∵把矩形ABCD沿对角线BD折叠，使点C落在点E处，
∴∠DBC=∠DBE，BE=BC=$\sqrt{6}$，ED=DC=$\sqrt{3}$，
∴∠FBD=∠FDB，
∴BF=DF，
∵BE=AD，
∴EF=AF，
∴∠FAE=∠FEA，
∴∠DAE=∠AEB=∠DBE=∠ADB，
∴AE∥BD，
∵AB=DE=$\sqrt{3}$，且AB与DE不平行，
∴四边形ABDE是等腰梯形．
过点A、E分别作AM⊥BD于点M、EN⊥BD于点N，则四边形AMNE为矩形，
∴BM=DN，AE=MN，
在Rt△ABD中，$\frac{1}{2}$AM•BD=$\frac{1}{2}$AD•AB，则AM=$\frac{\sqrt{3}×\sqrt{6}}{3}$=$\sqrt{2}$，
在Rt△ABM中，BM=1，
∴DN=1，
∴AE=MN=3-1-1=1，
∴梯形ABDE的面积=$\frac{1}{2}$（AE+BD）•AM=2$\sqrt{2}$．
（2）如图，

作PM⊥BD，垂足为点M，
由（1）可知BM=DM=$\frac{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}{2}$，
∵∠PMD=∠C，∠PDM=∠DBC，
∴△DPM∽△BDC，
∴$\frac{PD}{BD}$=$\frac{DM}{BC}$
∴$\frac{PD}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$=$\frac{\frac{1}{2}\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}{b}$
∴PD=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{2b}$．

点评 此题考查折叠的性质，矩形的性质，勾股定理，等腰梯形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，题目综合性较强，注意条件的灵活运用，结合图形，正确做出辅助线解决问题．