Question

15．（1）如图①，△ABC是锐角三角形，高BD、CE相交于点H，找出∠BHC和∠A之间存在何种等量关系；
（2）如图②，若△ABC是钝角三角形，∠A＞90°，高BD、CE所在的直线相交于点H，把图②补充完整，并指出此时（1）中的等量关系是否仍然成立？

Answer 1

分析 （1）根据对顶角的性质，可得∠BHC与∠EHD的关系，根据四边形的内角和定理，可得答案；
（2）根据对顶角的性质，可得∠BHC与∠EHD的关系，根据四边形的内角和定理，可得答案．

解答 解：（1）由∠BHC与∠EHD是对顶角，得
∠BHC=∠EHD．
由高BD、CE相交于点H，得
∠ADH=∠AEH=90°．
由四边形内角和定理，得
∠A+∠AEH+∠EHD+∠HDA=360°，
∠A+∠EHD=360°-∠AEH-∠HDA=360°-90°-90°=180°，
∴∠BHC+∠A=180°；
（2）由∠BHC与∠EHD是对顶角，得
∠BHC=∠EHD．
由高BD、CE相交于点H，得
∠ADH=∠AEH=90°．
由四边形内角和定理，得
∠H+∠AEH+∠EHD+∠HDA=360°，
∠H+∠DAE=360°-∠AEH-∠HDA=360°-90°-90°=180°，
∴∠BHC+∠BAC=180°．

点评 本题考查了多边形的内角与外角，利用了四边形的内角和，对顶角的性质．