Question

6．如图，已知：点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，DE∥BC，AD：BD：AC=1：2：$\sqrt{3}$，BC=12厘米．
（1）求DE、CD的长；
（2）求证：△DCE∽△CBD．

Answer 1

分析 （1）根据DE∥BC，得到△ADE∽△ABC，于是得到$\frac{AD}{AB}=\frac{DE}{BC}$，由已知条件得到$\frac{AD}{AB}$=$\frac{1}{3}$，求得DE=$\frac{1}{3}$BC=4，由于$\frac{AD}{AC}=\frac{1}{\sqrt{3}}$，$\frac{AC}{AB}$=$\frac{1}{\sqrt{3}}$，于是得到$\frac{AD}{AC}=\frac{AC}{AB}$，推出△ACD∽△ABC即可得到结论；
（2）由△ADC∽△ABC，得到∠B=∠DCE，根据DE∥BC，得到∠EDC=∠DCB，于是得到结论．

解答 （1）证明：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴$\frac{AD}{AB}=\frac{DE}{BC}$，
∵AD：BD=1：2，
∴$\frac{AD}{AB}$=$\frac{1}{3}$，
∴DE=$\frac{1}{3}$BC=4，
∵$\frac{AD}{AC}=\frac{1}{\sqrt{3}}$，$\frac{AC}{AB}$=$\frac{1}{\sqrt{3}}$，
∴$\frac{AD}{AC}=\frac{AC}{AB}$，
∵∠A=∠A，
∴△ACD∽△ABC，∴$\frac{CD}{BC}$=$\frac{1}{\sqrt{3}}$，
∴CD=4$\sqrt{3}$；

（2）∵△ADC∽△ABC，
∴∠B=∠DCE，
∵DE∥BC，
∴∠EDC=∠DCB，
∴△DCE∽△CBD．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．