Question

5．如图，直线y=x+b（b＜0）与两坐标轴分别交于A，B两点，与双曲线y=$\frac{2}{x}（x＞0）$交于点D，过点D作两坐标轴的垂线DC，DE，连结OD．
（1）求证：OA=OB；
（2）试证明对应任意的实数b（b＜0），AD•BD为定值；
（3）是否存在直线AB，使得四边形OBCD为平行四边形？若存在，求出直线AB的解析式；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由直线y=x+b（b＜0）与两坐标轴分别交于A，B两点，可求得点A与B的坐标，继而证得结论；
（2）首先设点D的坐标为：（x，$\frac{2}{x}$），由△BDE与△ACD是等腰直角三角形，即可用含x的式子表示出AD与BD，继而证得AD•BD为定值；
（3）由OB∥CD，可得当CD=OB时，四边形OBCD为平行四边形，然后设点D的坐标为：（x，$\frac{2}{x}$），则CD=$\frac{2}{x}$，DE=x，即可得方程：$\frac{2}{x}$=$\frac{1}{2}$x，继而求得点D的坐标，则可求得答案．

解答 （1）证明：∵直线y=x+b（b＜0）与两坐标轴分别交于A，B两点，
∴点A（-b，0），点B（0，b），
∴OA=-b，OB=-b；
∴OA=OB；

（2）证明：∵OA=OB，
∴∠ABO=∠OAB=45°，
设点D的坐标为：（x，$\frac{2}{x}$），
∵DE⊥y轴，
∴DE=BE=x，
∴BD=$\sqrt{2}$x，
∵DC⊥x轴，∠DAC=∠OAB=45°，
∴AC=CD=$\frac{2}{x}$，
∴AD=$\sqrt{2}$CD=$\frac{2\sqrt{2}}{x}$，
∴AD•BD=$\frac{2\sqrt{2}}{x}$•$\sqrt{2}$x=4；
∴对应任意的实数b（b＜0），AD•BD为定值；

（3）解：存在．
理由：∵OB∥CD，
∴当CD=OB时，四边形OBCD为平行四边形，
则CD=OB=OE=$\frac{1}{2}$BE=$\frac{1}{2}$DE，
设点D的坐标为：（x，$\frac{2}{x}$），
则CD=$\frac{2}{x}$，DE=x，
∴$\frac{2}{x}$=$\frac{1}{2}$x，
解得：x=2，
∴点D（2，1），
∴OB=CD=1，
∴b=-1，
∴直线AB的解析式为：y=x-1．

点评 此题属于反比例函数综合题，考查了一次函数与反比例函数的交点问题以及等腰直角三角形性质．注意设点D的坐标为：（x，$\frac{2}{x}$），然后根据题意表示出各线段的长是关键．