Question

11．数学兴趣小组活动时，老师带领大家探究《折线中的数学问题》，出示了如图1所示的长方形纸条ABCD，其中AD=BC=3，AB=CD=9，然后在纸条上任意画一条截线段MN，将纸片沿MN折叠，MB与DN交于点K，得到△MNK．如图2所示：
（1）点N到MK的距离是3；
（2）改变折痕MN的位置，△MNK始终什么三角形，请说明理由；
应用：
（3）爱动脑筋的小明在研究△MNK的面积S时，发现KN边上的高始终是个不变的值．根据这一发现，他很快研究出△KMN的面积S的最小值为$\frac{9}{2}$，此时∠1的大小可以为45或135°；
（4）小明继续动手操作，发现了△MNK面积S有最大值．请你写出这个最大值为7.5．

Answer 1

分析 （1）作NE⊥KM于E，NF⊥AB于F，如图所示：则NF=BC=3，由折叠的性质得：∠KMN=∠1，∴NE=NF=3，即点N到MK的距离是3；故答案为：3；
（2）利用翻折变换的性质以及两直线平行内错角相等得出KM=KN；
（3）利用当△KMN的面积最小值为$\frac{9}{2}$时，KN=BC=3，故KN⊥B′M，得出∠1=∠NMB=45°，同理当将纸条向下折叠时，∠1=∠NMB=135°；
（4）分情况讨论：①将矩形纸片对折，使点B与D重合，此时点K也与D重合；②将矩形纸片沿对角线AC对折，此时折痕即为AC两种情况讨论求解．

解答 解：（1）作NE⊥KM于E，NF⊥AB于F，如图1所示：
则NF=BC=3，
由折叠的性质得：∠KMN=∠1，
∴NE=NF=3，即点N到MK的距离是3；
故答案为：3；
（2）△MNK始终是等腰三角形；理由如下：
∵长方形ABCD中，AB∥CD，
∴∠1=∠MNK，
∵∠1=∠KMN，
∴∠MNK=∠KMN，
∴KM=KN；即△MNK是等腰三角形；
（3）如图2，当△KMN的面积最小值为$\frac{9}{2}$时，KN=BC=3，故KN⊥B′M，
∵∠NMB=∠KMN，∠KMB=90°，
∴∠1=∠NMB=45°，
同理当将纸条向下折叠时，∠1=∠NMB=135°
故答案为：45或135；   
（4）分两种情况：
①如图3，将矩形纸片对折，使点B与D重合，此时点K也与D重合．
MK=MB=x，则AM=9-x．
由勾股定理得：：3²+（9-x）²=x²，
解得x=5．
∴MD=ND=5．
S_△MNK=S_△MND=$\frac{1}{2}$×3×5=7.5．
②如图4，将矩形纸片沿对角线AC对折，此时折痕即为AC．
MK=AK=CK=x，则DK=9-x．
同理可得MK=NK=5．
∵MD=3，
∴S_△MNK=$\frac{1}{2}$×3×5=7.5．
△MNK的面积最大值为7.5；
故答案为：7.5．

点评 本题是四边形综合题目，考查了翻折变换（折叠问题），矩形的性质，勾股定理，三角形的面积计算，注意分类思想的运用，本题综合性较强，有一定的难度．