Question

如图，已知矩形纸片ABCD，AB=1.5，AD=1，将纸片折叠，使顶点A与边CD上的点E重合，折痕FG分别与AD、AB交于点F、G（F≠D）．
（1）如果△AGF∽△DEF，求FG的长；
（2）如果以EG为直径的圆与直线BC相切，求tan∠FGA．

Answer 1

考点：翻折变换（折叠问题）,切线的性质,相似三角形的性质

专题：

分析：（1）根据相似三角形的性质和折叠的性质可得∠AFG=∠DFE=∠EFG=60°，再根据含30°的直角三角形的性质可求FG的长；
（2）设AG=EG=x，EG的中点为M，过M作MN⊥BC，垂足为N，根据圆的性质和直角三角形的性质可得EC=2MN-BG=2x-1.5，根据勾股定理得到x的值，再分当x=1时，当AG=x=

5

4

时，两种情况讨论，进一步得到tan∠FGA的值．

解答：解：（1）∵△AGF∽△DEF，
∴∠AFG=∠DFE，
又由折叠知∠AFG=∠EFG，
∴∠AFG=∠DFE=∠EFG=60°，
∴DF=

1

2

EF=

1

2

AF，
∴AF=

2

3

AD=

2

3

，FG=2AF=

4

3

；

（2）设AG=EG=x，EG的中点为M，过M作MN⊥BC，垂足为N
依题意MN=

1

2

EG=

1

2

x，MN是中位线，
∴EC=2MN-BG=2x-1.5，
由EG²=BC²+（EC-BG）²，即x²=1+（3x-3）²，
解得x=1或x=

5

4

，
当x=1时，AG=EG=1，ADEG是正方形，折痕DG=DG，与已知不符；
当AG=x=

5

4

时，EC=2x-1.5=1，DE=CD-EC=1.5-1=0.5，
在△DEF中，EF²=DE²+DF²，即AF²=0.5²+（1-AF）²，解得AF=

5

8

，
∴tan∠FGA=

AF

AG

=

1

2

．

点评：考查了相似三角形的性质和折叠的性质，含30°的直角三角形的性质，圆的性质和直角三角形的性质，勾股定理，三角函数，同时涉及到分类思想的应用．