Question

如图，△ADC中，∠D=90°，B是AC边上一点，以AB为直径的⊙O与边CD，AD分别交于E、F两点，AE平分∠CAD．
（1）求证：CD与⊙O相切；
（2）若ED=2，AD=4，求BE的长．

Answer 1

考点：切线的判定

专题：

分析：（1）连接OE，利用内错角相等证得线段OE∥AD，根据∠D=90°即可证得∠OED=∠D=90°，从而判定CD与⊙O相切；
（2）首先利用勾股定理求得AE的长，然后证得△AEB∽△ADE，利用相似三角形对应边的比相等求得线段BE的长．

解答：解：（1）如图，连接OE，
∵OA=OE，
∴∠OAE=∠OEA，
∵AE平分∠CAD，
∴∠OAE=∠EAD，
∴∠OEA=∠EAD，
∴OE∥AD，
∴∠OED=∠D=90°，
∴CD与⊙O相切；

（2）∵ED=2，AD=4，
∴AE=

ED2+AD2

=2

5

，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB=90°，
∵∠OAE=∠EAD，
∴△AEB∽△ADE，
∴

BE

ED

=

EA

AD

，
即：

BE

2

=

2 5

4

，
解得：BE=

5

．

点评：本题考查了切线的判定，在解决切线问题时，常常连接圆心和切点，判定切线就是证明垂直，已知切线能得到垂直．