Question

8．已知正数a，b有如下性质：
a+b≥2$\sqrt{ab}$  当a=b时，a+b=2$\sqrt{ab}$，a+b取得最小值2$\sqrt{ab}$．
例如：代数式x+$\frac{4}{x}$（x＞0）的最小值为2$\sqrt{x•\frac{4}{x}}$=4
（1）当x=$\sqrt{7}$ 时，代数式3x+$\frac{21}{x}$（x＞0）取得最小值；
（2）已知函数y=x+$\frac{9}{x}$，自变量x＞0时，函数存在最小值，设x=x₀＞0时函数取得最小值，当0＜x≤x₀时，y随x的增大而减小；当x≥x₀时，y随x的增大而增大；
根据以上信息求：当1≤x≤9时，函数值y的范围为：6≤y≤10．

Answer 1

分析 （1）根据题意可知：当3x=$\frac{21}{x}$时，代数式3x+$\frac{21}{x}$（x＞0）取得最小值．解3x=$\frac{21}{x}$即可得出x的值，再根据x＞0即可确定答案；
（2）根据题意可知：当x=$\frac{9}{x}$，即x=3时，函数取得最小值2$\sqrt{x•\frac{9}{x}}$=6；再分别代入x=1与x=9求出y值，由此即可得出函数值y的范围．

解答 解：（1）根据题意可知：当3x=$\frac{21}{x}$时，代数式3x+$\frac{21}{x}$（x＞0）取得最小值，
即3x²=21，
解得：x=±$\sqrt{7}$，
∵x＞0，
∴x=$\sqrt{7}$．
故答案为：$\sqrt{7}$．
（2）根据题意可知：当x=$\frac{9}{x}$，即x=3时，函数取得最小值2$\sqrt{x•\frac{9}{x}}$=6；
当x=1时，y=x+$\frac{9}{x}$=1+9=10；
当x=9时，y=x+$\frac{9}{x}$=9+1=10．
∴当1≤x≤9时，函数值y的范围为：6≤y≤10．
故答案为：6≤y≤10．

点评 本题考查了反比例函数的性质以及一次函数的性质，读懂题意，模仿给定例题解决问题是解题的关键．