Question

17．如图，用同样规格黑白两色的正方形瓷砖铺设矩形地面，请观察图形，并探究和解答下列问题：

（1）设铺设地面所用瓷砖的总块数为y，请写出y与n（表示第n个图形）的关系式；
（2）上述铺设方案，铺一块这样的长方形地面共用了506块瓷砖，求此时n的值；
（3）黑瓷砖每块4元，白瓷砖每块3元，在问题（2）中，共需要花多少钱购买瓷砖？
（4）否存在黑瓷砖与白瓷砖块数相等的情形？请通过计算加以说明．

Answer 1

分析 （1）设铺设地面所用瓷砖的总块数为y，分别求出n=1、2、3时，y的值各是多少，判断出y与n（表示第n个图形）的关系式即可．
（2）根据铺一块这样的长方形地面共用了506块瓷砖，列出一元二次方程，求出此时n的值是多少即可．
（3）首先分别求出需要的白瓷砖、黑瓷砖的数量各是多少；然后根据总价=单价×数量，分别用黑瓷砖、白瓷砖每块的价格乘需要的黑瓷砖、白瓷砖的数量，求出共需要花多少钱购买瓷砖即可．
（4）当黑瓷砖与白瓷砖块数相等时，铺设地面所用瓷砖的总块数等于白瓷砖的数量的2倍，所以（n+3）（n+2）=2n（n+1），通过计算加以说明存在不存在黑瓷砖与白瓷砖块数相等的情形即可．

解答 解：（1）n=1时，y=4×3=12，
n=2时，y=5×4=20，
n=3时，y=6×5=30，
∴y=（n+3）（n+2）．

（2）（n+3）（n+2）=506
∴n²+5n-500=0，
解得n=20或n=-25（舍去）．

（3）20×（20+1）=420（块）
4×（506-420）+3×420
=4×86+1260
=344+1260
=1604（元）
答：共需要花1604元购买瓷砖．

（4）当黑瓷砖与白瓷砖块数相等时，铺设地面所用瓷砖的总块数等于白瓷砖的数量的2倍，
∴（n+3）（n+2）=2n（n+1），
∴n²+5n+6=2n²+2n，
整理，可得
n²-3n-6=0，
解得n=$\frac{3±\sqrt{33}}{2}$，
∵n是整数，
∴不存在黑瓷砖与白瓷砖块数相等的情形．
答：不存在黑瓷砖与白瓷砖块数相等的情形．

点评 此题主要考查了一元二次方程的求法和应用，图形的变化规律，以及函数值的求法，要熟练掌握．