Question

13．如图，在平面直角坐标系中，点A（1，$\sqrt{3}$），点B（2，0），P为边OB上一点，过点P作PQ∥OA，交AB于点Q，连接AP，则△APQ面积的最大值是$\frac{\sqrt{3}}{4}$．

Answer 1

分析 如图，作AF⊥OB于F，QE⊥IB于E．设OP=x．根据S_△APQ=S_△AOB-S_△AOP-S_△PQB，根据二次函数利用二次函数的性质解决问题即可．

解答 解：如图，作AF⊥OB于F，QE⊥IB于E．设OP=x．

∵A（1，$\sqrt{3}$），B（2，0），
∴OF=1，AF=$\sqrt{3}$，OB=2，
∵OF=FB，AF⊥OB，
∴AO=AB，
在Rt△OAF中，∵∠AFO=90°，OF=1，AF=$\sqrt{3}$，
∴OA=AB=$\sqrt{O{F}^{2}+A{F}^{2}}$=2，
∵OA=OB=AB=2，
∴△AOB是等边三角形，
∴∠BOA=∠BAO=∠ABO=60°
∵PQ∥OA，
∴∠QPB=∠AOB=60°，
∴△PQB是等边三角形，
∴QP=PB=QB=2-x，
∴S_△PQB=$\frac{\sqrt{3}}{4}$（2-x）²，
∴S_△APQ=S_△AOB-S_△AOP-S_△PQB=$\frac{\sqrt{3}}{4}$×2²-$\frac{1}{2}$•x•$\sqrt{3}$-$\frac{\sqrt{3}}{4}$（2-x）²=-$\frac{\sqrt{3}}{4}$（x-1）²+$\frac{\sqrt{3}}{4}$，
∵-$\frac{\sqrt{3}}{4}$＜0，
∴当x=1时，△APQ的面积最大值为$\frac{\sqrt{3}}{4}$．
故答案为$\frac{\sqrt{3}}{4}$．

点评 本题考查相似三角形的点评和性质、等边三角形的判定和性质、二次函数的应用等知识，解题的关键是学会构建二次函数解决最值问题，属于中考常考题型．