Question

如图，以矩形OABC的顶点O为原点，OA为x轴，OC为y轴建立平面直角坐标系，双曲线y=

k

x

(x＞0)与AB、BC分别交于点D、E，沿直线DE将△DBE翻折得△DFE，且点F恰好落在直线OA上．若AB：BC=2：3，则矩形的面积是

 

．

Answer 1

考点：反比例函数综合题

专题：综合题

分析：根据AB：BC=2：3，设AB=2t，BC=3t，表示出A，B的坐标，根据D、E分别为反比例函数与BC、AB的交点，得出D与E坐标，根据直线DE将△DBE翻折得△DFE，且点F恰好落在直线OA上，得到BF垂直于DE，且BF中点在DE上，表示出DE的斜率，进而确定出直线DE方程，利用两直线垂直时斜率乘积为-1得出直线BF斜率，表示出直线BF方程，进而表示出F坐标，利用中点坐标公式表示出BF中点坐标，代入直线DE中整理表示出t²，即可确定出矩形的面积．

解答：解：根据AB：BC=2：3，设AB=2t，则有BC=3t，即A（3t，0），B（3t，2t），
∵E、D为反比例函数y=

k

x

与BC、BA的交点，
∴D（3t，

k

3t

），E（

k

2t

，2t），
∵直线DE将△DBE翻折得△DFE，且点F恰好落在直线OA上，
∴BF⊥DE，BF的中点在DE上，
∵直线DE的斜率为

2t- k 3t

k 2t -3t

=-

2

3

，方程为y-2t=-

2

3

（x-

k

2t

），
∴直线BF斜率为

3

2

，
∴直线BF解析式为y-2t=

3

2

（x-3t），即y=

3

2

x-

5

2

t，
令y=0，得到x=

5

3

t，即F（

5

3

t，0），
∴BF的中点坐标为（

3t+ 5 3 t

2

，t），
将中点坐标代入直线DE解析式得：t-2t=-

2

3

（

7

3

t-

k

2t

），
整理得：t²=

3

5

k，
则S_矩形=3t•2t=6t²=

18

5

k．
故答案为：

18

5

k

点评：此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：坐标与图形性质，两直线垂直时斜率满足的关系，直线的点斜式方程，线段中点坐标公式，以及对称的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解本题的关键．