Question

如图：已知△ABC中，AB=AC，点D为AB上一点，连接CD，BF∥CD连接AF交CD于点E，AE=BF．

（1）求证：∠AEC=2∠ABC．
（2）当∠BAC=90°时，过点A作AG⊥BC交BC于点G，交CD于点H，交BF延长线于点M，连接CM，连接FG并延长交CD于点N，连接AN并延长交CM于点Q，若DE：EH=2：3，试猜想CQ与MQ之间的数量关系，并证明你的结论．

Answer 1

考点：相似形综合题

专题：

分析：（1）先分别过点A、B作AH⊥EC，BN⊥AF于H、N两点，先证出△AEH≌△BFN，得出AH=BN，再证明△AHC≌△ABN，得出∠BAF=∠ACE，再根据BF∥CE，证出∠ABC=∠ACB，最后根据∠BFN=∠AEC=∠ABF+∠BAF=∠FBC+∠ABC+∠BAF即可证出结论；
（2）猜想：CQ：MQ=2：9，先根据CD∥BM得出△ADE∽△ABF，△AEH∽△AFM，从而得

DE

BF

=

EH

FM

，再求出BF：FM=2：3，根据AG⊥BC AB=AC，得出∠AEC=90°，根据CH∥BM得出BF=CN，FM=HN，设AE=BF=CN=2a，则MF=HN=3a，设DE=2m，则EH=3m，根据 

DE

AE

=

AE

EC

，得出

2m

2a

=

2a

3m+5a

，求出a，再求出AH：AM=EH：FM，过点H作HP∥AQ交CM于点P，根据

MH

AH

=

MP

PQ

得MP：PQ=2：1，再根据

CN

HN

=

CQ

PQ

得CQ：PQ=2：3，即可求出CQ：MQ的值．

解答：解：（1）分别过点A、B作AH⊥EC，BN⊥AF于H、N两点，
∵BF∥CE∴∠BFE=∠FEC，
∴∠BFN=∠AEC，
∵AE=BF，
∴△AEH≌△BFN，
∴AH=BN，
∵AC=AB∠AHC=∠BNA=90°，
∴△AHC≌△ABN，
∴∠BAF=∠ACE，
∵BF∥CE，
∴∠FBC=∠ECB，
∴AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵∠BFN=∠AEC=∠ABF+∠BAF=∠FBC+∠ABC+∠BAF=2∠ABC；

（2）猜想：CQ：MQ=2：9，
∵CD∥BM∴△ADE∽△ABF△AEH∽△AFM，

DE

BF

=

AE

AF

，

EH

FM

=

AE

AF

，
∴

DE

BF

=

EH

FM

，
∵DE：EH=2：3，
∴BF：FM=2：3，
∵AG⊥BC AB=AC，
∴BG=CG∠BAC=90°，
∴∠B=∠ACB=45°，
∴∠AEC=90°，
∵CH∥BM，
∴∠CHG=∠BMG∠MBG=∠HCG，
∴△BFG≌△CNG△HGN≌△MGF，
∴BF=CN，FM=HN，
设AE=BF=CN=2a，则MF=HN=3a，设DE=2m，则EH=3m，
∵∠AEC=∠DAC=90°，
∴△ADE∽△CAE，
 

DE

AE

=

AE

EC

，即

2m

2a

=

2a

3m+5a

，
化简得2a²-5ma-3m²=0，
解得a₁=-

m

2

（舍去），a₂=3m，
∵CD∥BM，
∴AH：AM=EH：FM=3m：9m=1：3，
过点H作HP∥AQ交CM于点P，
∴

MH

AH

=

MP

PQ

，即MP：PQ=2：1，
∵HP∥NQ，
∴

CN

HN

=

CQ

PQ

，即CQ：PQ=2：3，
CQ：MQ=2：9．

点评：此题考查了相似形综合，用到的知识点是相似三角形的判定与性质、平行线分线段成比例定理，关键是作出辅助线，构造相似三角形，注意分类讨论思想．