Question

5．如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，在BC上取BE=BO，连结AE，且∠BOE=75°．
（1）求∠ABO的度数；
（2）求∠CAE的度数．

Answer 1

分析 （1）根据等腰三角形的性质求出∠OBE=30°，则求该角的余角即可；
（2）根据矩形的对角线互相平分且相等可得OA=OB，然后求出△AOB是等边三角形，根据等边三角形的性质可得AB=BO，∠BAO=60°，再判断出△ABE是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质求出∠BAE=45°，然后根据∠CAE=∠BAO-∠BAE计算即可得解．

解答 解：（1）解：∵BE=BO，∠BOE=75°，
∴∠OBE=180°-2×75°=30°，
∴∠ABO=∠ABC-∠OBE=90°-30°=60°；

（2）由（1）知，∠ABO=60°．
∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=OB，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB=BO，∠BAO=60°，
∵BO=BE，
∴AB=BE，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∴∠BAE=45°，
∴∠CAE=∠BAO-∠BAE=60°-45°=15°．

点评 本题考查了矩形的性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，熟记各性质并判断出等边三角形和等腰直角三角形是解题的关键．