Question

9．阅读下面的材料：a是不为1的有理数，我们把$\frac{1}{1-a}$称为a的差倒数，如：2的差倒数是$\frac{1}{1-2}$=-1，3的差倒数是$\frac{1}{1-3}$=-$\frac{1}{2}$．对于一列有理数a₁，a₂，…a₂₀₁₅，a₂₀₁₆，后一个数都是它前面一个数的差倒数（如：a₂=$\frac{1}{1-{a}_{1}}$），已知a₁=-1．
（1）求a₃和a₄的值；
（2）求a₁+a₂+…a₂₀₁₅+a₂₀₁₆的值．

Answer 1

分析 利用规定的运算方法，分别算得a₁，a₂，a₃，a₄…，找出运算结果的循环规律，利用规律解决问题．

解答 解：（1）∵a₁=-1，
∴a₂=$\frac{1}{1-（-1）}$=$\frac{1}{2}$，
a₃=$\frac{1}{1-\frac{1}{2}}$=2，
a₄=$\frac{1}{1-2}$=-1；
（2）由（1）可知三个数依次不断循环，
∵2016÷3=672，
∴a₁+a₂+…a₂₀₁₅+a₂₀₁₆=672（-1+$\frac{1}{2}$+2）=1008．

点评 此题考查数字的变化规律，利用规定的运算方法，得出数字之间的循环规律，利用规律解决问题．