Question

18．设x₁，x₂是一元二次方程2x²-5x+1=0的两根，求$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$的值．（用韦达定理解答）

Answer 1

分析 根据根与系数的关系得到x₁+x₂=$\frac{5}{2}$，x₁x₂=$\frac{1}{2}$，再计算$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$+$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$的值得到$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$+$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$=$\frac{21}{2}$，设$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$=t，所以t+$\frac{1}{t}$=$\frac{21}{2}$，然后解关于t的方程即可．

解答 解：根据题意得x₁+x₂=$\frac{5}{2}$，x₁x₂=$\frac{1}{2}$，
所以$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$+$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$=$\frac{{{x}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-2{x}_{1}{x}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{\frac{25}{4}-2×\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}}$=$\frac{21}{2}$，
设$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$=t，
则t+$\frac{1}{t}$=$\frac{21}{2}$，
整理得2t²-21t+2=0，解得t=$\frac{21±5\sqrt{17}}{4}$，
所以$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$的值为$\frac{21±5\sqrt{17}}{4}$．

点评 本题考查了根与系数的关系：若x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两根时，x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$，x₁x₂=$\frac{c}{a}$．