Question

点P在第一象限，坐标为（m，n）．
（1）点Q是点P关于直线y=x的轴对称点，直接写出Q点坐标（用m、n表示）；
（2）过Q作y轴平行线交直线y=x于A，若OQ²-AQ²=4，求经过点Q的双曲线的解析式；
（3）在（2）的条件下，若经过O、P、Q三点的抛物线的对称轴为x=

7

6

，求P点坐标．

Answer 1

考点：反比例函数综合题

专题：

分析：（1）设Q是P的对称点，作PC⊥y轴于点C，PD⊥x轴于点D，易证△POC≌△QOD，据此即可求解；
（2）设双曲线为y=

k

x

，则Q（n，

k

n

），A（n，m）．则OQ和都可以利用n和k表示出来，根据OQ²-AQ²=4，即可列方程求解；
（3）设抛物线的解析式是y=ax²+bx，把P和Q坐标代入，然后利用对称轴的公式，即可列方程组求解．

解答：解：（1）∵设Q是P的对称点，则直线y=x垂直平分PQ，连接OP、OQ，则OP=OQ，且直线y=x平分∠POQ，又y=x平分∠xOy．
∴∠xOQ=∠yOP，
作PC⊥y轴于点C，PD⊥x轴于点D．
则△POC≌△QOD，
∴OD=OC=n，QD=PC=m，
故点Q的坐标是（n，m）；
（2）设双曲线为y=

k

x

，则Q（n，

k

n

），A（n，m）．
∴AQ=n-

k

n

，
∴OQ²-AQ²=n²+（

k

n

）²-（n-

k

n

）²，
∴2k=4，
∴k=2，
∴反比例函数的解析式是：y=

2

x

；
（3）∵抛物线经过原点，
∴设抛物线的解析式是y=ax²+bx，
则

2 m =m2a+mb m=( 2 m )2+( 2 m )b

，
得：

a=- m2+2 2m b= 2 m2 + m2+2 2

，
又∵-

b

2a

=

7

6

，
∴

2 m2 + m2+2 2

2(- m2+2 2m )

=

2 m2 + m2+2 2

m2+2 m

=

7

6

，
即

1 2 (m+ 2 m )2-1

m+ 2 m

=

7

6

，
3（m+

2

m

）²-7（m+

2

m

）-6=0，
则m+

2

m

=3…1）或m+

2

m

=-

2

3

…2），
解1）得：m=1或2，方程2）无解．
故P的坐标是（1，2）或（2，1）．

点评：本题考查了待定系数法求函数的解析式，以及全等三角形的判定与性质，正确解方程组是关键．