Question

13．如图，在△ABC中，AB=AC，高AD和BE相交于点H，且AH=2BD，求证：AE=BE．

Answer 1

分析 △ABC中，AB=AC，AD是底边上的高，则BC=2BD，结合AH=2BD，得到BC=AH，又BE是高，所以，∠AEH=∠BEC=90°，∠HAE+∠AHE=∠DAC+∠C，所以，∠AHE=∠C，所以，△AHE≌△BCE，则AE=BE．

解答 证明：∵在△ABC中，AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形，AD是底边上的高，
∴BC=2BD，
∵AH=2BD，
∴BC=AH，
又∵BE是高，
∴∠AEH=∠ADC=90°，
则∠DAC+∠AHE=∠DAC+∠C=90°，
∴∠AHE=∠C，
在△AHE和△BCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AHE=∠C}\\{BC=AH}\\{∠AEH=∠BEC}\end{array}\right.$，
∴△AHE≌△BCE（AAS），
∴AE=BE．

点评 本题主要考查了等腰三角形的性质和全等三角形的判定与性质，证明两个三角形全等，是证明线段或角相等的重要工具；在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．