题目内容

8．利用我们学过的知识，可以导出下面这个形式优美的等式：a2+b2+c2-ab-bc-ac=$\frac{1}{2}$[（a-b）2+（b-c）2+（c-a）2]，该等式从左到右的变形，不仅保持了结构的对称性，还体现了数学的和谐、简洁美．
（1）请你检验这个等式的正确性；
（2）若a=2012，b=2013，c=2014，你能很快求出a2+b2+c2-ab-bc-ac的值吗？

分析 （1）已知等式右边利用完全平方公式化简，整理即可作出验证；
（2）把a，b，c的值代入已知等式右边，求出值即为所求式子的值．

解答 （1）证明：右边=$\frac{1}{2}$[（a-b）2+（b-c）2+（c-a）2]=$\frac{1}{2}$（a2-2ab+b2+b2-2bc+c2+c2-2ac+a2）=$\frac{1}{2}$（2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ac）=a2+b2+c2-ab-bc-ac=左边；
（2）解：当a=2012，b=2013，c=2014时，原式=$\frac{1}{2}$[（a-b）2+（b-c）2+（c-a）2]=$\frac{1}{2}$×（1+1+4）=3．

点评 此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．

练习册系列答案
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18．（1）如图1，将两张正方形纸片A与三张正方形纸片B放在一起（不重叠无缝隙），拼成一个宽为10的长方形，求正方形纸片A、B的边长．
（2）如图2，将一张正方形纸片D放在一正方形纸片C的内部，阴影部分的面积为4；如图3，将正方形纸片C、D各一张并列放置后构造一个新的正方形，阴影部分的面积为48，求正方形C、D的面积之和．
19．如图，已知△ABC≌△DCE≌△HEF，三条对应边BC、CE、EF在同一条直线上，连接BH，分别交AC、DC、DE于点P、Q、K，其中S△PQC=1，则图中三个阴影部分的面积和为13．
16．已知：x3+px+q能被（x-a）2整除，求证：4p3+27q2=0．
3．如图，为测量小河的宽度，先在河岸边任取一点A，再在河的另一岸边取两点B，C，测得∠ABC=60°，∠ACB=30°，量得BC的长为20m，AB的长为BC长的一半，求小河的宽度．（结果保留根号）
13．如图，在△ABC中，AB=AC，高AD和BE相交于点H，且AH=2BD，求证：AE=BE．
20．如图，AE平分∠BAC交BC于点D，∠C=∠EBC，∠BAC=70°，∠ABC=30°，求∠E和∠ADC的度数．
17．若记y=f（x）=$\frac{{x}^{2}}{1+{x}^{2}}$，其中f（1）表示当x=1时y的值，即f（1）=$\frac{{1}^{2}}{1+{1}^{2}}$=$\frac{1}{2}$；
f（$\frac{1}{2}$）表示当x=$\frac{1}{2}$时y的值，即f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{（\frac{1}{2}）^{2}}{1+（\frac{1}{2}）^{2}}$=$\frac{1}{5}$…；
则f（1）+f（2）+f（$\frac{1}{2}$）+f（3）+f（$\frac{1}{3}$）+…+f（2016）+f（$\frac{1}{2016}$）=2015.5．
7．如图所示的是由5个边长是1的正方形组成的图形．
（1）求BA12，BA22，BA32的值；
（2）从（1）中寻找规律，当有10个正方形时，求BA102的值；
（3）当有n个正方形时，求BAn2的值．

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