Question

14．为了响应“足球进校园”的号召，某校计划为校足球队购置一批足球．已知购买2个甲型足球和3个乙型足球共需380元；购买4个甲型足球和2个乙型足球共需360元．
（1）求甲，乙两种型号足球的单价；
（2）该校共购买甲、乙两种型号足球10个，设购买甲型足球x个，所需总费用为y元，求y与x之间的函数解析式，并写出x的取值范围；
（3）若购买的10个足球中要求甲型不超过乙型的一半，求该校购买10个足球的最小费用．

Answer 1

分析 （1）设甲型足球的单价为m元/个，乙型足球的单价为n元/个，根据“购买2个甲型足球和3个乙型足球共需380元；购买4个甲型足球和2个乙型足球共需360元”，即可得出关于m、n的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购买甲型足球x个，所需总费用为y元，则购买乙型足球（10-x）个，根据总费用=甲型足球单价×购买数量+乙型足球单价×购买数量，即可得出y与x之间的函数解析式；
（3）根据购买的10个足球中要求甲型不超过乙型的一半，即可得出关于x的一元一次不等式，解之即可得出x的取值范围，再根据一次函数的性质即可解决最值问题．

解答 解：（1）设甲型足球的单价为m元/个，乙型足球的单价为n元/个，
根据题意得：$\left\{\begin{array}{l}{2m+3n=380}\\{4m+2n=360}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=40}\\{n=100}\end{array}\right.$．
答：甲型足球的单价为40元/个，乙型足球的单价为100元/个．
（2）设购买甲型足球x个，所需总费用为y元，则购买乙型足球（10-x）个，
根据题意得：y=40x+100（10-x）=-60x+1000（0≤x≤10，且x为整数）．
（3）根据题意得：x≤$\frac{1}{2}$（10-x），
解得：x≤$\frac{10}{3}$，
∵x为整数，
∴x≤3．
∵在y=-60x+1000中，-60＜0，
∴当x=3时，y取最小值，最小值为820．
∴当购买甲型足球3个、乙型足球7个时，该校购买10个足球的费用最低，最低费用为820元．

点评 本题考查了一次函数的应用、二元一次方程的应用、一次函数的性质以及解一元一次不等式，解题的关键是：（1）找准等量关系，列出二元一次方程组；（2）根据总费用=甲型足球单价×购买数量+乙型足球单价×购买数量，找出y与x之间的函数解析式；（3）根据一次函数的性质，解决最值问题．