Question

4．如图，点P在菱形ABCD的对角线AC上，PA=PD，⊙O为△APD的外接圆．
（1）求证：△APD∽△ADC．
（2）若AD=6，AC=8，求⊙O的半径．

Answer 1

分析 （1）由等腰三角形的性质得出∠PDA=∠PAD．由菱形的性质得出DA=DC．得出∠DAC=∠DCA．因此∠PDA=∠DCA，即可得出结论；
（2）由相似三角形的对应边成比例求出AP=$\frac{9}{2}$，连接PO并延长交AD于点Q，得出PQ垂直平分AD．AQ=3，由勾股定理求出PQ=$\sqrt{A{P}^{2}-A{Q}^{2}}$=$\frac{3\sqrt{5}}{2}$，
连接AO，设半径为r，在Rt△AOQ中，OQ=PQ-r=$\frac{3\sqrt{5}}{2}$-r，由勾股定理得出方程，解方程即可．

解答 （1）证明：∵PA=PD，
∴∠PDA=∠PAD．     
∵四边形ABCD是菱形，
∴DA=DC．        
∴∠DAC=∠DCA．
∴∠PDA=∠DCA．                      
∵∠PAD=∠DAC，
∴△APD∽△ADC．
（2）解：∵△APD∽△ADC，
∴$\frac{PA}{AD}=\frac{AD}{AC}$．即$\frac{PA}{6}=\frac{6}{8}$，
解得AP=$\frac{9}{2}$，
连接PO并延长交AD于点Q，
∵PA=PD，
根据圆的轴对称性，得：PQ垂直平分AD．
∴AQ=3，
∴PQ=$\sqrt{A{P}^{2}-A{Q}^{2}}$=$\frac{3\sqrt{5}}{2}$，
连接AO，设半径为r，
在Rt△AOQ中，OQ=PQ-r=$\frac{3\sqrt{5}}{2}$-r，
由勾股定理得：3²+（$\frac{3\sqrt{5}}{2}$-r）²=r²，
解得：r=$\frac{27\sqrt{5}}{20}$，
即⊙O的半径为$\frac{27\sqrt{5}}{20}$．

点评 本题考查了菱形的性质、相似三角形的判定与性质、三角形的外接圆、勾股定理、等腰三角形的性质等知识；熟练掌握菱形的性质和等腰三角形的性质，证明三角形相似是解决问题的关键．