Question

2．如图，点E在正方形ABCD的对角线AC上，且EC=2AE，直角三角形FEG的两直角边EF，EG分别交BC，DC于点M，N，若正方形ABCD的边长为a，则重叠部分四边形EMCN的面积为$\frac{4}{9}$a²．

Answer 1

分析 过E作EP⊥BC于点P，EQ⊥CD于点Q，△EPM≌△EQN，利用四边形EMCN的面积等于正方形PCQE的面积求解．

解答 解：过E作EP⊥BC于点P，EQ⊥CD于点Q，

∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD=90°，
又∵∠EPM=∠EQN=90°，
∴∠PEQ=90°，
∴∠PEM+∠MEQ=90°，
∵三角形FEG是直角三角形，
∴∠NEF=∠NEQ+∠MEQ=90°，
∴∠PEM=∠NEQ，
∵AC是∠BCD的角平分线，∠EPC=∠EQC=90°，
∴EP=EQ，四边形PCQE是正方形，
在△EPM和△EQN中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠PEM=∠NEQ}\\{EP=EQ}\\{∠EPM=∠EQN}\end{array}\right.$，
∴△EPM≌△EQN（ASA）
∴S_△EQN=S_△EPM，
∴四边形EMCN的面积等于正方形PCQE的面积，
∵正方形ABCD的边长为a，
∴AC=$\sqrt{2}$a，
∵EC=2AE，
∴EC=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$a，
∴EP=PC=$\frac{2}{3}$a，
∴正方形PCQE的面积=$\frac{2}{3}$a×$\frac{2}{3}$a=$\frac{4}{9}$a²，
∴四边形EMCN的面积=$\frac{4}{9}$a²，
故答案为：$\frac{4}{9}$a²．

点评 本题主要考查了正方形的性质及全等三角形的判定及性质，解题的关键是作出辅助线，证出△EPM≌△EQN．