题目内容
【题目】在△ABC中，CA＝CB，在△AED中， DA＝DE，点D、E分别在CA、AB上．
（1）如图①，若∠ACB＝∠ADE＝90°，则CD与BE的数量关系是 ；
（2）若∠ACB＝∠ADE＝120°，将△AED绕点A旋转至如图②所示的位置，求CD与BE的数量关系；
（3）若∠ACB＝∠ADE＝2α（0°< α < 90°），将△AED绕点A旋转至如图③所示的位置，探究线段CD与BE的数量关系，并加以证明(用含α的式子表示)．
【答案】（1）BE＝
CD；（2）BE＝
CD；（3）BE=2CD·sinα，证明见解析．
【解析】试题分析：（1）由已知，△ADE和△ACB都是等腰直角三角形，所以有AE=
AD，AB=
AC，从而有
，即BE＝
CD.
（2）如图，分别过点C、D作CM⊥AB于点M，DN⊥AE于点N，
∵CA＝CB，DA＝DE，∠ACB＝∠ADE=120°，
∴∠CAB＝∠DAE，∠ACM＝∠ADN="60°" ，AM=
AB，AN=
AE．
∴∠CAD＝∠BAE．
在Rt△ACM和Rt△ADN中，sin∠ACM=
=
，sin∠ADN=
=
，
∴
．∴
．
又∵∠CAD＝∠BAE，∴△BAE∽△CAD．∴
.∴BE＝
CD．
（3）根据等腰三角形的性质和锐角三角函数定义求得
，再由△BAE∽△CAD得出
，从而得出结论.
（1）BE＝
CD.
（2）BE＝
CD.
（3）BE=2CD·sinα．证明如下：
如图，分别过点C、D作CM⊥AB于点M，DN⊥AE于点N，
∵CA＝CB，DA＝DE，∠ACB＝∠ADE="2α" ，
∴∠CAB＝∠DAE，∠ACM＝∠ADN="α" ，AM=
AB，AN=
AE．
∴∠CAD＝∠BAE．
在Rt△ACM和Rt△ADN中，sin∠ACM=
，sin∠ADN=
，
∴
．∴
．
又∵∠CAD＝∠BAE，∴△BAE∽△CAD．∴
.
∴BE=2DC·sinα．
