Question

4．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，点D在BC上，BD=2CD，过D点作BC的垂线交AB于点E，BE=6cm，F为线段AC上一动点，则△DEF的周长最小值为9cm．

Answer 1

分析 如图，作点D关于直线AC的对称点H，连接EH交AC于F，此时FE+FD的值最小，即△DEF的周长最小．求出DE、EH的长即可解决问题．

解答 解：如图，作点D关于直线AC的对称点H，连接EH交AC于F，此时FE+FD的值最小，即△DEF的周长最小．

在Rt△BED中，∵∠EDB=90°，∠B=30°，BE=6cm，
∴DE=3cm＜BD=3$\sqrt{3}$cm，
∵BD=2CD，
∴CD=CH=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
在Rt△EDH中，EH=$\sqrt{D{E}^{2}+D{H}^{2}}$=6cm，
∵FD=FH，
∴△DEF的周长的最小值=DE+EF+DF=DE+EF+FH=EH+DE=6+3=9cm，
故答案为9．

点评 本题考查轴对称-最短问题、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用对称解决最短问题，属于中考常考题型．