Question

5．计算：$\frac{（a+b）^{3}（b+c）^{3}（c+a）^{3}-3（a+b）（b+c）（c+a）}{{a}^{3}+{b}^{3}+{c}^{3}-3abc}$．

Answer 1

分析 先证明出x³+y³+z³-3xyz=（x+y+z）（x²+y²+z²-xy-yz-xz），再利用这个结论得到（a+b）³（b+c）³（c+a）³-3（a+b）（b+c）（c+a）=2（a+b+c）（a²+b²+c²-ab-bc-ac）a³+b³+c³-3abc=（a+b+c）（a²+b²+c²-ab-bc-ac），然后通过约分得到原式的值．

解答 解：∵x³+y³+z³-3xyz=（x+y）³-3xy（x+y）+z³-3xyz
=（x+y+z）³-3（x+y）z（x+y+z）-3xy（x+y+z）
=（x+y+z）³-3（x+y）z（x+y+z）-3xy（x+y+z）
=（x+y+z）[（x+y+z）²-3xz-3yz-3xy]
=（x+y+z）（x²+y²+z²-xy-yz-xz），
∴（a+b）³（b+c）³（c+a）³-3（a+b）（b+c）（c+a）=[（a+b）+（b+c）+（c+a）][（a+b）²+（b+c）²+（c+a）²-（a+b）（b+c）-（a+b）（a+c）-（b+c）（a+c）]
=2（a+b+c）（a²+2ab+b²+b²+2bc+c²+c²+2ac+a²-ab-ac-b²-bc-a²-ac-ab-bc-ab-bc-ac-c²）
=2（a+b+c）（a²+b²+c²-ab-bc-ac）
a³+b³+c³-3abc=（a+b+c）（a²+b²+c²-ab-bc-ac）
∴原式=2．

点评 本题考查了分式的混合运算：分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序；先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的．最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．