Question

13．观察图形
（1）①通过计算几何图形的面积可得到一些代数恒等式，如图1有一边长为a的三个小长方形拼成一个大的长方形，得到的代数恒等式是：a（b+c+d）=ab+ac+ad
②如图2所得到的恒等式为（　　）
A．（a-b）²=a²-2ab+b²     B．（a+b）²=a²+2ab+b²
C．2a（a+b）=2a²+2ab      D．（a+b）（a-b）=a²-b²
（2）观察图形：如图3，大长方形是由四个小长方形拼成的，请根据此图填空：
x²+（p+q）x+pq=x²+px+qx+pq=（x+p）（x+q）
说理验证：事实上，我们也可以用如下方法进行变形：
x²+（p+q）x+pq=x²+px+qx+pq=（x²+px）+（qx+pq）=x（x+p）+q（x+p）=（x+p）（x+q）．
于是，我们可以利用上面的方法进行多项式的因式分解或整式计算．
（4）尝试运用
（1）写出一个利用如图4得到的一个恒等式
（2）请利用上述方法将下列多项式分解因式：
①x²+7x+12     ②2x²+5x+3

Answer 1

分析 （1）②根据图2中大长方形的面积可以看作是两个正方形的面积与两个小长方形的面积的和，并用两种方法计算其面积从而得到所求等式．
（2）①大长方形的长为（x+p），宽为（x+q），也可看作是一个边长为x的正方形、及一个长为p宽为x、长为x宽为q、长为p宽为q的三个小长方形拼成的
（4）①此大长方形可以看作长分别为a、b、c，宽分别为d、e的若干个小长方形拼成的．由此可写出一个等式．
②利用（2）所的几何证明法进行证明．

解答 （1）如下图所示：①图2中S_{四边形ABCD}=2a²+2ab=2a•（a+b），即2a²+2ab=2a•（a+b），故选C
（2）：①图3中S_{四边形ABCD}=x²+px+qx+pq=（p+x）（q+x），即：x²+px+qx+pq=（x+p）（x+q），
事实上利用分组分解法也可证明：x²+（p+q）x+pq=x²+px+qx+pq=（x²+px）+（qx+pq）=x（x+p）+q（x+p）=（x+p）（x+q）                                          
故：答案为：（p+x）（q+x）、x（x+p）+q（x+p）、（x+p）（x+q）
（4）（1）图④中S_{四边形ABCD}=3ad+3bd+3cd+5ae+5be+5ce=（a+b+c）（3d+5e），
即：3ad+3bd+3cd+5ae+5be+5ce=（a+b+c）（3d+5e）
（2）①如下图⑤大长方形的面积=x²+3x+4x+12═x²+7x+12=（x+3）（x+4），
即：x²+7x+12=（x+3）（x+4）
②图⑥中，大长方形的面积=2x²+x+x+3x+3=2x²+5x+3=（2x+3）（x+1）
即：2x²+5x+3=（2x+3）（x+1）

点评 本题考查了因式分解、图形的面积、数形结合思想等问题，解题的关键是具有能够把一个代数问题转化为几何问题求解的数学思想．