Question

如图，C是线段AB的中点，AE⊥AB，BF⊥AB，过点C的直线与AE、BF分别交于点E、F．
（1）求证：CE=CF；
（2）若∠F=45°，BF=2，求BE的长．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,勾股定理

专题：

分析：（1）根据ASA，可证明△ACE≌BCF，根据全等三角形的性质，可得证明的结论；
（2）根据全等三角形的性质，可得AE的长，根据等腰直角三角形的性质，可得BC的长，根据勾股定理，可得答案．

解答：（1）证明：∵C是线段AB的中点，
∴AC=BC
AE⊥AB，BF⊥AB，
∴∠EAC=∠FBC=90°
又∠ACE=∠BCF
∴△ACE≌△BCF
∴CE=CF        
（2）解：∵△ACE≌△BCF
∴AE=BF=2．
在△BCF中，∠F=45°，∠FBC=90°
∠BCF=90°-45°=45°
∴BC=BF=2        
∴AB=2BF=4
  在Rt△ABE中，由勾股定理得
BE=

AE2+AB2

=

22+42

=2

5

．

点评：本题考查了全等三角形的性质与判定，（1）利用ASA证明三角形全等，再利用性质证明对应边相等；（2）利用勾股定理是解题关键．