Question

14．如图，△ABC和△AMN均为等边三角形，将△AMN绕点A旋转（△AMN在直线AC的右侧）．
（1）求证：△BAM≌△CAN；
（2）若点C，M，N在同一条直线上，
①求∠BMC的度数；
③点M是CN的中点，求证：BM⊥AC．

Answer 1

分析 （1）由等边三角形的性质得出AB=AC，AM=AN，∠BAC=∠MAN=60°，再证出∠BAM=∠CAN，由SAS即可证明△ABM≌△ACN．
（2）①由等边三角形的性质得出∠AMN=∠NAM=∠AMN=60°，由全等三角形的性质得出∠AMB=∠MNA=60°，再由平角定义即可得出结果；
②由等边三角形的性质证出MB是AC的垂直平分线，即可得出结论．

解答 （1）证明：∵△ABC和△AMN是等边三角形，
∴AB=AC，AM=AN，∠BAC=∠MAN=60°，
∴∠BAC+∠MAC=∠MAN+∠MAC，
即∠BAM=∠CAN，
在△BAM和△CAN中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}&{\;}\\{∠BAM=∠CAN}&{\;}\\{AM=AN}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△BAM≌△CAN；
（2）①解：∵△AMN为等边三角形，
∴∠AMN=∠NAM=∠AMN=60°，
∵△BAM≌△CAN，
∴∠AMB=∠MNA=60°，
∴∠BMC=180°-∠AMN-∠AMB=60°；
②证明：∵点M是CN的中点，
∴MN=CM，
∵△AMN是等边三角形，
∴AM=MN=CM，
∵△ABC为等边三角形，
∴AB=CB，
∴MB是AC的垂直平分线，
∴BM⊥AC．

点评 本题考查了等边三角形的性质、线段垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质；熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．