Question

17．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点D为AB中点，点E在BA的延长线上，过B作BF⊥EC交EC延长线于F，交DC延长线于G．
（1）求证：∠BEF=∠BGD；
（2）求证：DE=DG；
（3）BC与EG垂直吗？为什么？

Answer 1

分析 （1）根据垂直的定义和同角的余角相等即可得到结论；
（2）首先根据等腰三角形的知识得到CD=BD，进而证明出△ECD≌△GBD，于是结论得证；
（3）延长BC交EG于H，求出∠BHD=90°即可证明．

解答 证明：（1）∵AC=BC，点D为AB中点，
∴∠BDG=∠EDG=90°
∴∠BGD+∠DBG=90°，
∵BF⊥EC，
∴∠BEF+∠DBG=90°，
∴∠BEF=∠BGD．

（2）∵AC=BC，∠ACB=90°，
∴∠ABC=∠CAB=45°，
∵∠BDG=90°，
∴∠BCD=90°-∠ABC=45°，
∴∠BCD=∠ABC，
∴CD=BD，
在△ECD和△GBD中$\left\{\begin{array}{l}∠BEF=∠BGD\\ DC=DB\\∠EDC=∠GDB\end{array}\right.$，
∴△ECD≌△GBD，
∴DE=DG；

（3）BC⊥EG，
证明：延长BC交EG于H
∵∠EDG=90°，DE=DG，
∴∠DEG=∠DGE=45°，
∴∠BHG=∠DEG+∠ABC=90°，
∴BC⊥EG．

点评 本题主要考查了全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的知识，解（1）要掌握同角的余角相等，解（2）关键是证明△ECD≌△GBD，解（3）关键是作辅助性．