Question

如图，抛物线经过A，C，D三点，且三点坐标为A（-1，0），C（0，5），D（2，5），抛物线与x轴的另一个交点为B点，点F为y轴上一动点，作平行四边形DFBG，
（1）B点的坐标为

 

；
（2）是否存在F点，使得四边形DFBG为矩形？如存在，求出F点坐标；如不存在，说明理由；
（3）连结FG，FG的长度是否存在最小值？如存在求出最小值，若不存在说明理由．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）根据点C、D的纵坐标相等求出抛物线的对称轴，然后根据二次函数的对称性求出点B的坐标即可；
（2）连接CD，然后求出△CDF和△OFB相似，根据相似三角形对应边成比例列式求出OF，然后写出点F的坐标即可；
（3）连接BD，设FG、BD相交于点H，根据平行四边形的对角线互相平分可得FG=2FH，再求出点H的坐标，再根据垂线段最短可得FH⊥y轴时，FH最短，从而求出FH，再求出FG即可．

解答：解：（1）∵C（0，5），D（2，5），
∴抛物线的对称轴为直线x=

2+0

2

=1，
∵A（-1，0），
∴2×1-（-1）=3，
∴点B的坐标为（3，0），
故答案为：（3，0）；

（2）如图，连接CD，则∠DCF=90°，
∵四边形DFBG为矩形，
∴∠DFC+∠OFB=180°-90°=90°，
∴∠DFB=90°
∵∠OFB+∠OBF=90°，
∴∠DFC=∠OBF，
又∵∠DCF=∠FOB=90°，
∴△CDF∽△OFB，
∴

CD

OF

=

CF

OB

，
∵B（3，0），C（0，5），D（2，5），
∴CD=2，OB=3，OC=5，
∴CF=5-OF，
∴

2

OF

=

5-OF

3

，
整理得，OF²-5OF+6=0，
解得OF=2或OF=3，
∴点F的坐标为（0，2）或（0，3）；

（3）连接BD，设FG、BD相交于点H，
∵四边形DFBG是平行四边形，
∴FG、BD互相平分，
∴FG=2FH，
又∵B（3，0），D（2，5），
∴点H的坐标为（2.5，2.5），
根据垂线段最短，FH⊥y轴时，FH最短，
此时，FH=2.5，
FG=2FH=2×2.5=5．

点评：本题是二次函数综合题型，主要利用了二次函数的对称性，相似三角形的判定与性质，平行四边形的对角线互相平分的性质，题目的综合性较强，难度中等，是一道不错的中考压轴题．